Cho hàm số $ y = \frac{ – x + 1}{2x + 1} (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $ M \in (C) $ , biết tiếp tuyến cắt $2$ trục tọa độ tạo thành $1$ tam giác cân.
Bài giải chi tiết:
Tập xác định: $ D = R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\} $ . Ta có: $ y’ = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân, dễ thấy tam giác đó vuông nên hệ số góc của tiếp tuyến là $ k = \pm 1 $ .
Gọi $ M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) $ là tiếp điểm
– Nếu $ k = – 1 \Rightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}} = – 1 \Rightarrow 2{x_0} + 1 = \pm \sqrt 3 \Rightarrow {x_0} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{2} $
Với $ {x_0} = \frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $ tiếp tuyến là: $ y = – x – 1 – \sqrt 3 $
Với $ {x_0} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow $ tiếp tuyến là: $ y = – x – 1 + \sqrt 3 $
– Nếu $ k = 1 \Rightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow {\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} = – 3 $ : Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: $ y = – x – 1 – \sqrt 3 $ và $ y = – x – 1 + \sqrt 3 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 3}{x – 2}$ .Cho $M$ là điểm bất kì trên $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt các đường tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và $B$. Gọi $I$ là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ có diện tích nhỏ nhất.
- Cho hàm số $ y = \frac{(m-1)x + m}{x – m} $ $(C_m) $. Cho điểm $ M(x_0;y_0) \in $ $ \left( {{C_3}} \right) $ . Tiếp tuyến của $ (C_3) $ tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại các điểm $A$ và $B$. Chứng minh diện tích tam giác $AIB$ không đổi, $I$ là giao của $2$ tiệm cận. Tìm $M$ để chu vi tam giác $AIB$ nhỏ nhất.
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Xác định điểm \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ $A$ đến giao điểm của hai tiệm cận là nhỏ nhất.
- Cho hàm số $y$ =\(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho$2$. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
Trả lời