Cho hàm số : $ y = \frac{ – x + 1}{2x + 1}    (C)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$, biết  tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận đứng và trục $Ox$.

Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là  $ A\left( { – \frac{1}{2},0} \right) $
Phương trình tiếp tuyến (d) qua A có dạng  $ y = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right) $
(d) tiếp xúc với (C) khi hệ có nghiệm
$  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\\
{\left( {\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}}} \right)’} = k{\rm{   }}
\end{array} \right.   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} = k\left( {x + \frac{1}{2}} \right){\rm{    }}(1)\\
\frac{{ – 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = k{\rm{            }}(2)
\end{array} \right. $
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
$ \frac{{ – x + 1}}{{2x + 1}} =  – \frac{{3\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} $
$ \Leftrightarrow (x – 1)(2x + 1) = \,3(x + \frac{1}{2}) $  và  $ x \ne  – \frac{1}{2} $   $  \Leftrightarrow x – 1 = \frac{3}{2} $
$ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} $ .     Do đó  $ k =  – \frac{1}{{12}} $
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  $ y =  – \frac{1}{{12}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) $.