Cho hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + mx + m}}{{ – mx + m}}\)$1$. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi $m$ \( \ne 0\)$2$. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {0;\frac{5}{4}} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\)

$1$. Ta có:
    \( \left\{ \begin{array}{l}
– ymx + my =  – {x^2} + mx + m\\
mx \ne m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {x + 1 – y + yx} \right) =  – {x^2}\\
mx \ne m
\end{array} \right.\left( 1 \right)\)
$(1)$ đúng với mọi $m$ \( \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 – {x^2} = 0\\
x + 1 – y + yx = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\)
Vậy với  \(\forall m \ne 0\) đồ thị luôn đi qua $A(0, 1)$

$2$. Tiếp tuyến tổng quát có phương trình:
    \(y = f\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) = \left( {1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {x_0} – \frac{1}{{{x_0} – 1}}   \left( 1 \right)\) ($x_0$ là hoành độ tiếp điểm)
Tiếp tuyến $(1)$qua $M (0, \frac{5}{4})$ \( \Leftrightarrow 5x_0^2 – 2{x_0} + 1 = 0   \left( 2 \right)\)
$(2)$ vô nghiệm, do đó không có tiếp tuyến nào qua $M$.