Cho hàm số:  $y = \frac{{ – {x^2} + x + a}}{{x + a}}$,  trong  đó $a$ là tham số.1)    Xác định $a$ để đồ thị hàm số có tiện cận xiên đi qua điểm $(0; 2)$.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của $a$.2)    Xác định tất cả các giá rị của $a$ để đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = x – 1$ tại 2 điểm phân biệt. Khi đó gọi ${y_1},{y_2}$ là tung độ của 2 giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa ${y_1},{y_2}$ không phụ thuộc vào $a$

$1)$    Viết lại hàm số dưới dạng:  $y =  – x + a + 1 – \frac{a}{{x + a}}$
Khi đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = – x + a + 1$.
Tiệm cận xiên đi qua điểm $(2; 0)$ suy ra $a = 1$.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị $a = 2$ dành cho bạn đọc.

$2)$    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y = x – 1$ thỏa mãn phương trình $\frac{{ – {x^2} + x + a}}{{x + a}} = x – 1$     hay     $2{x^2} + \left( {a – 2} \right)x – 2a = 0$.
Để có giao điểm phân biệt ta cần có:
$\Delta  = {\left( {a – 2} \right)^2} + 16a = {a^2} + 12a + 4 > 0$
$ \Leftrightarrow a – 6 + 4\sqrt 2 $.
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai giao điểm đó, ta có
    ${x_1} + {x_2} = \left( {2 – a} \right)2,       {x_1}{x_2} = – a$
Do đó tung độ tương ứng là ${y_1} = {x_1} – 1,{y_2} = {x_2} – 1$.

Từ đó ta có
${y_1} + {y_2} = {x_1} + {x_2} – 2 = \left( {2 – a} \right)/2 – 2 = – \left( {a/2} \right) – 1$
${y_1}{y_2} = \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) = {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = – a – \left( {2 – a} \right)/2 + 1 = – a/2$
$ \Rightarrow {y_1}{y_2} – \left( {{y_1} + {y_2}} \right) =  – \frac{a}{2} – \left( { – \frac{a}{2} – 1} \right) = 1$.
Hệ thức đó của ${y_1},{y_2}$ không phụ thuộc vào $a$