Cho hàm số:  $y = \frac{{2{x^2} + ( {1 – m} )x + 1 + m}}{{x – m}}$            (1)1)    Với $m = 1$, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    Chứng minh rằng với mọi $m \ne  – 1$, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.3)    Xác định $m$ để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = 2x + m + 1 + \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{x – m}}$
Từ đó:   $y’ = 2 – \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}$
Đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng ${y_1} = {\rm{ax + b}}$. Ta có $y’\left( 1 \right) = 1,\forall m \ne  – 1 \Rightarrow a = 1.$ Khi đó $b = y\left( { – 1} \right) – 1.\left( { – 1} \right) = – 1,\left( {\forall m \ne  – 1} \right)$.
Vậy đường thẳng cố định cần tìm là ${y_1} = x – 1$ và tiếp điểm cố định là $\left( { – 1, – 2} \right)$.

$3)$    Viết lại $y’$ dưới dạng
$y’ = \frac{{2{{\left( {x – m} \right)}^2} – {{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}$
    $ = \frac{{2\left[ {x – \frac{{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }}} \right]\left[ {x – \frac{{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)m – 1}}{{\sqrt 2 }}} \right]}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}$
$y$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ khi $y’ \ge 0$ trên khoảng đó
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }} \le 1\\
\frac{{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 3 – 2\sqrt 2 \\
m \le 3 + 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3 – 2\sqrt 2 $