Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$$2$. Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0\)$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Bài giải chi tiết:
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} = {\log _2}a\)
Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị đã vẽ ở phần 1) với \(y = {\log _2}a\)
Từ đó ta có:
– Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow 1 – 2\sqrt 2 – Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {\log _2}a = 1 \pm 2\sqrt 2 \Leftrightarrow a = {2^{1 \pm 2\sqrt 2 }}\)
– Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}
{\log _2}a {\log _2}a > 1 + 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 a > {2^{1 + 2\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)
$3$. Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng
\(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow y’ = \frac{{2{x^2} – 4x + 3 – m}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \ge 0\forall x > 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x + 3 – m \ge 0\forall x > 3\)
\( \Leftrightarrow m \le \varphi \left( x \right) = 2{x^2} – 4x + 3\forall x > 3\) Ta có \(\varphi ‘\left( x \right) = 4x – 4\)
Ta lập bảng biến thiên như hình vẽ
Nên \(m \le \varphi \left( x \right)\forall x > 3 \Leftrightarrow m \le 9\).
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng: với $x > 0$ , ta luôn có: $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$
- Cho hàm số: $y = {x^3} – 3(a – 1){x^2} + 3a(a – 2)x + 1\,\,\,\,\,\,(1)$$a)$Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = 0.$$b$) Với các giá trị nào của $a$ thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của $x$ sao cho: $1\leq |x|\leq 2$
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $1$.
- Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}$ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = -1$.2) Xác định $m$ để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.3) Xác định $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x
- Dùng định nghĩa để tìm khoảng tăng giảm của hàm số: \(f(x)=-x^{2}+4x-1\)
- a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x \ln^2 x.$b) Tìm điểm cực trị của hàm số $y=f(x)=x^2\ln x.$
- Cho hàm số: $y = \frac{{2{x^2} + ( {1 – m} )x + 1 + m}}{{x – m}}$ (1)1) Với $m = 1$, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng với mọi $m \ne – 1$, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.3) Xác định $m$ để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
- Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến ?$a)$ $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ $b)$ $y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}$$c$) $y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}$ $d)$ $y = {3^{ – x}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}} \right)^x}$
Trả lời