Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$ (1)1) Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện: $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1
Bài giải chi tiết:
$1)$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $x = m$ là nghiệm của tử số trong biểu thức hàm số.
$ \Leftrightarrow 2{m^2} – 3m + m = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} = 0,{\rm{ m}} = 1$.
Với $m = 0$ ta có hàm số $y = 2x – 3{\rm{ (x}} \ne {\rm{0)}}$ ;
Với $m = 1$ ta có hàm số $y = 2x – 1{\rm{ (x}} \ne {\rm{1)}}$
$2)$ Ta viết lại hàm số dưới dạng $y = 2x + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{x – m}}$
Và có $y’ = 2 – \frac{{2({m^2} – m)}}{{{{(x – m)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{(x – m)}^2} – ({m^2} – m)} \right]}}{{{{(x – m)}^2}}}$
Để hàm số có cực đại và cực tiểu cần có ${m^2} – m > 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{m}} 1$.
Khi đó hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là ${x_{1,2}} = m \pm \sqrt {{m^2} – m} $ và
$\left| {{y_{cd}} – {y_{ct}}} \right| = \left| {2{x_1} + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{{x_1} – m}}} \right| – \left[ {2{x_2} + (2m – 3) + \frac{{2({m^2} – m)}}{{{x_2} – m}}} \right]$
$ = \left| {2({x_1} – {x_2}) + 2({m^2} – m)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{m^2} – m} }} + \frac{1}{{\sqrt {{m^2} – m} }}} \right)} \right|$
$ = \left| {4\sqrt {{m^2} – m} + \frac{{4({m^2} – m)}}{{\sqrt {{m^2} – m} }}} \right| = \frac{{8({m^2} – m)}}{{\sqrt {{m^2} – m} }} > 8$
$ \Leftrightarrow {m^2} – m > \sqrt {{m^2} – m} {\rm{ }} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – m} \left( {\sqrt {{m^2} – m} – 1} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} – m} > 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {{\rm{m}}^2} – m – 1 > 0$
$ \Leftrightarrow m \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
Đáp số : $m \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
$3)$ Với $m \ne 0 ; 1$: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = m$, cắt trục tung tại điểm $(0{\rm{ ; }} – {\rm{1)}}$, do đó có phương trình tiếp tuyến tại $(0{\rm{ ; }} – {\rm{1)}}$ là:
$y + 1 = y'(0)x = \frac{{2x}}{m}{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{y}} = \frac{{2x}}{m} – 1$
Với $x = m$ ta có ${\rm{y}} = \frac{{2x}}{m} – 1 = 1$. Đó là điều cần chứng minh
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số: $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$
- Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
- Cho hàm số: $ y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m (C_m) $ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $ (C_m) $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
- Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\,\,\, (1)$$1.$ Khảo sát hàm số $(1)$ khi $m = 1.$$2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số ($1$) luôn đạt cực trị tại $x_1; x_2$ với $x_2 – x_1$ không phụ thuộc $m.$
- Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2) Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
- Cho hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{x – 3}}\)$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi \(0 \le x \le 2\)
- Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
- Biết $a < b < c$. Xem hàm số $y = (x - a)(x - b)(x - c)$1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với $a, b, c$.3) Giả sử $b = 0$. Tìm liên hệ giữa $a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong $y = {x^3}$
Trả lời