Cho hàm số: $y = \frac{{2x^2 + x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,(1)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$.$2$. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số $(1)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.$3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{2\cos^2x + |\cos x| + 1}}{{|\cos x| + 1}}$

$1.$ $y=\frac{2x^2+x+1}{x+1}=2x-1+\frac{2}{x+1}  $ Bạn đọc tự giải
$2.$ Xét $A(0,a)\in Oy$. Đường thẳng qua $A(0,a)$ với hệ số góc $k$ có phương trình $y=kx+a$.Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến (qua $A$)
$\Leftrightarrow  $ Hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm
$(H)\begin{cases}2x-1+\frac{2}{x+1}=kx+a   (1)  \\ 2-\frac{2}{(x+1)^2} =k  (2) \end{cases} $
Ta có $(2)\Leftrightarrow  2(x+2)-\frac{2}{x+1}=k(x+1)  (2′) $
$(1)$ và $(2′)\Rightarrow  -3+\frac{4}{x+1} =a-k \Rightarrow  \frac{1}{x+1} =\frac{a+3-k}{4} $
Do đó $(H)\Leftrightarrow  \begin{cases}\frac{1}{x+1}=\frac{a+3-k}{4}   (3)   \\ 2-\frac{2}{(x+1)^2}=k    (2)  \end{cases} $
$(H)$ sẽ có nghiệm $\Leftrightarrow  (3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$
$\Leftrightarrow  \begin{cases}\frac{a+3-k}{4}\neq  0  \\ 2-2.(\frac{a+3-k}{4} )^2=k \end{cases} $
$\Leftrightarrow  \begin{cases}k\neq  2 \\ (k-(a+3)^2)+8k-16=0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow  \begin{cases}k\neq  2 \\ k^2+[8-2(a+3)]k+(a+3)^2-16=0   (4) \end{cases} $
Vì vậy để qua $A(0,a)$ kẻ được tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc, điều kiên cần và đủ là $(4)$ có $2$ nghiệm phân biệt $k_1,k_2\neq  2$ thỏa mãn $k_1.k_2=-1$
$\Leftrightarrow  \begin{cases}(a+3)^2-16=-1 \\ (2-a(a+3))^2+8.2-16\neq  0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow  a=-3\pm\sqrt{15} $
$\Rightarrow  A_1(0,-3-\sqrt{15} ),A_2(0,-3+\sqrt{15} )$
$3.$ Đặt $t=|cosx|$ thì $0\leq  t\leq  1$ và $A=\frac{2t^2+t+1}{t+1} $
Theo phần $1$.Hàm số $A=\frac{2t^2+t+1}{t+1} $ đồng biến trong đoạn $0\leq  t\leq  1$
$\Rightarrow  maxA=\frac{2+1+1}{1+1}=2 $ (đạt khi $t=1\Leftrightarrow  |cosx|=1\Leftrightarrow  sinx=0\Leftrightarrow  x=k\pi$),
$minA=1$ (đạt khi $t=0\Leftrightarrow  |cosx|=0\Leftrightarrow  x=\frac{\pi}{2} +k\pi$)