Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
Bài giải chi tiết:
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ Điểm $M$ thuộc đồ thị , có hoành độ ${x_M} = a$, vậy có tung độ ${y_M} = \frac{{a – 2}}{{a + 1}}$, và tại $M$ tiếp tuyến có hệ số góc $y{‘_M} = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M:
$\begin{array}{l}
y = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x – a} \right) + \frac{{a – 2}}{{a + 1}}\\
= \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – \frac{{3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{a – 2}}{{a + 1}} = \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {a – 2} \right)\left( {a + 1} \right) – 3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\
\Leftrightarrow y = \frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}
\end{array}$
$3)$ Áp dụng công thức tính khoảng cách d từ một điểm tới một đường thẳng, cụ thể từ điểm $I(-1; 1)$ đến đường thẳng $\frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – y + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = 0$,
Ta được: $d = \frac{T}{{M’}}$
Với
$\begin{array}{l}
T = \left| {\frac{{3x}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} – 1 + \frac{{{a^2} – 4a – 2}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \right| = \frac{{6\left| {a + 1} \right|}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}},\\
M = \sqrt {1 + \frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}
\end{array}$
Vậy $d = \frac{{6\left| {a + 1} \right|}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}$
Ta cũng có: $d = \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}}$
Theo bất đẳng thức Côsi
${\left( {a + 1} \right)^4} + 9 \ge 2\sqrt {9.{{\left( {a + 1} \right)}^4}} = 6{\left( {a + 1} \right)^2},$
Nên $d = \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4} + 9}} \le \frac{{36{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{6{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = 6$
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi
${\left( {a + 1} \right)^4} = 9 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3$
$ \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 2 = 0 \Leftrightarrow a = – 1 \pm \sqrt 3 $
Tóm lại khoảng cách $d$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt 6 $ khi $a = – 1 \pm \sqrt 3 $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
- Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $ A(0;-1) $ đến đồ thị hàm số $ y = 2x^3 + 3x^2 – 1 $
Trả lời