Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?

$1.$ Bạn đọc tự giải.
$2.$ Giao của $2$ tiệm cận là $I(-1;1)$. Hàm số đã cho có thể viết lại thành: $y = 1 – \frac{1}{{x + 1}}
\Leftrightarrow y – 1 =  – \frac{1}{{x + 1}}$
Đặt $X = x + 1;\,\,Y = y – 1$ thì hàm số trở thành: $Y =  – \frac{1}{X}$
Vậy phép chuyển tọa độ cho bởi công thức:
$\left\{ \begin{array}{l}
X = x + 1\\
Y = y + 1
\end{array} \right.$ thì gốc tọa độ mới chính là điểm I đã cho và trong hệ tọa độ mới, hypebol vẽ trong $1)$ có phương trình $Y =  – \frac{1}{X}$ là một hàm lẻ nên nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
$b)$ Một đường thẳng tùy ý qua $I$ có phương trình dạng $Y = kX$ (hoặc $X = 0$). Rõ ràng $X = 0$ không cóđiểm chung với $Y =  – \frac{1}{X}$; còn $Y = kX$ thì hoặc không có điểm chung với $Y =  –
\frac{1}{X}$ (nếu phương trình $kX = – \frac{1}{X}$ vô nghiệm hay k$ \ge 0$) hoặc cắt $Y =  –
\frac{1}{X}$ tại $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua $I$ khi $k $kX =- \frac{1}{X}$ có $2$ nghiệm phân biệt $X =  \pm \sqrt { – \frac{1}{k}} $
Vì vậy không có tiếp tuyến nào qua I.
$3)\,\,\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 + |a| + |b|}}$
Thực hiện nhân chéo, thu gọn biến đổi tương đương ta có:
$\begin{array}{l}
|a + b| \le |a| + |b| \Leftrightarrow {(a + b)^2} \le {\left( {|a| + |b|} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 2ab \le 2|ab|
\end{array}$
(luôn luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $ab = |ab|  \Leftrightarrow ab \ge 0$