Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2) Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
Bài giải chi tiết:
$1)$ Ta có $y = x + 2{m^2} – 1 + \frac{{1 – {m^2}}}{{x + 1}}$, do đó
$y’ = 1 – \frac{{1 – {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} – \left( {1 – {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Từ đó suy ra để hàm số có cực trị thì: $1 – {m^2} > 0 \Leftrightarrow 1 > {m^2} \Leftrightarrow – 1
$2)$ Giả sử trên đồ thì có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tạo độ.
Hai điểm đó: $A\left( {{x_0},{y_0}} \right),B\left( { – {x_0}, – {y_0}} \right)$ với ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne – 1$.
Khi đó ta có ${y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}}, – {y_0} = \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{ – {x_0} + 1}}$.
Ta cần có: $ – \left( { – {y_0}} \right) = {y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}} = – \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{1 – {x_0}}}$
$ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} – 1} \right)x_0^2 = {m^2}$
Do ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne – 1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 2{m^2} – 1 > 0,2{m^2} – 1 \ne {m^2}\\
\Rightarrow \left| m \right| > \frac{{\sqrt 2 }}{2},m \ne \pm 1.
\end{array}$
$3)$ Dành cho bạn đọc
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$.Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,với $c \neq 0,D=ad-bc \neq 0.$ Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = – x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m – 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l} 5{x_A} – {y_A} + 3 = 0; 5{x_B} – {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$
- Cho hàm số $y = \frac{2x^2 + (m – 4)x – 2m + 1}{x – 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = 2x^3 – (2 + m)x^2 + 1 (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
- Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$
Trả lời