Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2) Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
Bài giải chi tiết:
$1)$ Ta có $y = x + 2{m^2} – 1 + \frac{{1 – {m^2}}}{{x + 1}}$, do đó
$y’ = 1 – \frac{{1 – {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} – \left( {1 – {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Từ đó suy ra để hàm số có cực trị thì: $1 – {m^2} > 0 \Leftrightarrow 1 > {m^2} \Leftrightarrow – 1
$2)$ Giả sử trên đồ thì có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tạo độ.
Hai điểm đó: $A\left( {{x_0},{y_0}} \right),B\left( { – {x_0}, – {y_0}} \right)$ với ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne – 1$.
Khi đó ta có ${y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}}, – {y_0} = \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{ – {x_0} + 1}}$.
Ta cần có: $ – \left( { – {y_0}} \right) = {y_0} = \frac{{x_0^2 + 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{{x_0} + 1}} = – \frac{{x_0^2 – 2{m^2}{x_0} + {m^2}}}{{1 – {x_0}}}$
$ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} – 1} \right)x_0^2 = {m^2}$
Do ${x_0} \ne 0,{x_0} \ne – 1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 2{m^2} – 1 > 0,2{m^2} – 1 \ne {m^2}\\
\Rightarrow \left| m \right| > \frac{{\sqrt 2 }}{2},m \ne \pm 1.
\end{array}$
$3)$ Dành cho bạn đọc
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số: $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$
- Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
- Cho hàm số: $ y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m (C_m) $ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $ (C_m) $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$ (1)1) Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện: $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1
- Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
- Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\,\,\, (1)$$1.$ Khảo sát hàm số $(1)$ khi $m = 1.$$2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số ($1$) luôn đạt cực trị tại $x_1; x_2$ với $x_2 – x_1$ không phụ thuộc $m.$
- Cho hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{x – 3}}\)$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi \(0 \le x \le 2\)
- Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
- Biết $a < b < c$. Xem hàm số $y = (x - a)(x - b)(x - c)$1) Chứng tỏ rằng y có cực đại và cực tiểu.2) Xác định vị trí hoành độ của cực đại và cực tiểu đối với $a, b, c$.3) Giả sử $b = 0$. Tìm liên hệ giữa $a, c$ để điểm uốn của đồ thị nằm trên đường cong $y = {x^3}$
Trả lời