Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}$ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = -1$.2) Xác định $m$ để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.3) Xác định $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x Bài giải chi tiết:
Viết lại hàm số dưới dạng: $y = x + \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}}$ $(1)$
$1)$ Dành cho bạn đọc
$2)$ Ta có $y’ = 1 + \frac{{3{m^2}}}{{{{\left( {x – 2m} \right)}^2}}}$.
Hàm số $(1)$ có $2$ khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó khi và chỉ khi $y’ \ge 0,\forall x \ne 2m$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0,\forall x \ne 2m\\
\Leftrightarrow 1 \ge \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}},\forall x \ne 2m \Leftrightarrow m = 0
\end{array}$
3) Hàm số $(1)$ đồng biến trong khoảng $1 1$
$ \Leftrightarrow 1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0, \forall x > 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 2m} \right)^2} – 3{m^3}, \forall x > 1\\
2m \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {x – \left( {2 + \sqrt 3 } \right)m} \right]\left[ {x – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)m} \right],\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2 + \sqrt 3 } \right)m \le 1,\left( {2 – \sqrt 3 } \right)m \le 1,\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}=2 – \sqrt 3
\end{array}$
(chứa cả trường hợp $m = 0$)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng: với $x > 0$ , ta luôn có: $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$
- Cho hàm số: $y = {x^3} – 3(a – 1){x^2} + 3a(a – 2)x + 1\,\,\,\,\,\,(1)$$a)$Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = 0.$$b$) Với các giá trị nào của $a$ thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của $x$ sao cho: $1\leq |x|\leq 2$
- Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$$2$. Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0\)$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $1$.
- Dùng định nghĩa để tìm khoảng tăng giảm của hàm số: \(f(x)=-x^{2}+4x-1\)
- a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x \ln^2 x.$b) Tìm điểm cực trị của hàm số $y=f(x)=x^2\ln x.$
- Cho hàm số: $y = \frac{{2{x^2} + ( {1 – m} )x + 1 + m}}{{x – m}}$ (1)1) Với $m = 1$, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng với mọi $m \ne – 1$, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.3) Xác định $m$ để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$
- Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến ?$a)$ $y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}$ $b)$ $y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}$$c$) $y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}$ $d)$ $y = {3^{ – x}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}} \right)^x}$
Trả lời