Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2$. Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho từ đó có hai tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ vuông góc với nhau
Bài giải chi tiết:
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Xét \(A\left( {0,a} \right)\) trên $Oy$. Đường thẳng qua $A$ với hệ số góc $k$ có phương trình \(y = kx + a\)
Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm
\(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 + \frac{4}{{x – 1}} = kx + a \left( 1 \right)\\
1 – \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = k \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x – 1 – \frac{4}{{x – 1}} = k\left( {x – 1} \right){\rm{ }} \left( {2′} \right)\)
\(\left( 1 \right) – \left( {2′} \right) \Rightarrow 4 + \frac{8}{{x – 1}} = k + a \Rightarrow \frac{1}{{x – 1}} = \frac{{k + a – 4}}{8} \left( 3 \right)\)
\(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x – 1}} = \frac{{k + a – 4}}{8} \left( 3 \right)\\
1 – \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = k \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(H)$ sẽ có nghiệm \( \Leftrightarrow (3)\) có nghiệm thỏa mãn $(2)$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + a – 4 \ne 0\\
1 – 4{\left( {\frac{{k + a – 4}}{8}} \right)^2} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
{\left( {k + a – 4} \right)^2} + 16\left( {k – 1} \right) = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
\varphi \left( k \right) = {k^2} + 2\left( {a – 4 + 8} \right)k + {\left( {a – 4} \right)^2} – 16 = 0
\end{array} \right.\)
Như vậy qua $A$ sẽ kẻ được tới đồ thị $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi \(\varphi \left( k \right)\) có $2$ nghiệm phân biệt \({k_1},{k_2} \ne 4-a\) sao cho \({k_1}.{k_2} = – 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a – 4} \right)^2} – 16 = – 1\\
\varphi \left(4-a \right) = 16(3-a)\ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 \pm \sqrt {15} \\
a \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4 \pm \sqrt {15} \)
Kết luận: các điểm cần tìm là $A$ \(\left( {0;4 \pm \sqrt {15} } \right)\)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xét hàm số với tham số $a:$ \(y = 2{x^3} + ax^2 – 12x – 13\) 1. Với những giá trị nào của $a$ thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trực tung?2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 3.$
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} – 5m + 3}}{x}\)$1$.Với giá trị dương nào của $m$ thì hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng \(0 < x < 2m\).$2. a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$ $b)$ Qua điểm $A(1, 0)$ viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
- $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$2$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $ A, B$. xác định giá trị của m để độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.
- Vẽ đồ thị hàm số: $y=|x|+|x-1|$.
- Cho hàm số: $f(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2ax + {a^2} + 2a + 1$.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $a = 0$.b) Xét các giá trị của $a$ để phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Với mỗi $a$ đó, gọi ${x_a}$là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định $a$ để ${x_a}$ nhỏ nhất.
- Cho hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 5$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.3) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y = kx$
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=x^2+2x-2$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty .)$
- Cho hàm số: $y = kx^4+ (k – 1)x^2 + (1 – 2k)$$1$. Xác định các giá trị của tham số $k$ để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.$2$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $k = \frac{1}{2}$$3$. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị ở phần $2)$ đi qua gốc tọa độ.
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=F(x)=\begin{cases}-x+\frac{3}{2} nếu x\leq -\frac{1}{2} \\ -2x^2+x+3, nếu x>-\frac{1}{2} \end{cases}$
Trả lời