Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2$. Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho từ đó có hai tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ vuông góc với nhau

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Xét \(A\left( {0,a} \right)\) trên $Oy$. Đường thẳng qua $A$ với hệ số góc $k$ có phương trình \(y = kx + a\)
Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm
\(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 + \frac{4}{{x – 1}} = kx + a      \left( 1 \right)\\
1 – \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = k                   \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x – 1 – \frac{4}{{x – 1}} = k\left( {x – 1} \right){\rm{   }}    \left( {2′} \right)\)
\(\left( 1 \right) – \left( {2′} \right) \Rightarrow 4 + \frac{8}{{x – 1}} = k + a \Rightarrow \frac{1}{{x – 1}} = \frac{{k + a – 4}}{8}        \left( 3 \right)\)
\(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x – 1}} = \frac{{k + a – 4}}{8}      \left( 3 \right)\\
1 – \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = k    \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(H)$ sẽ có nghiệm \( \Leftrightarrow (3)\) có nghiệm thỏa mãn $(2)$
    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + a – 4 \ne 0\\
1 – 4{\left( {\frac{{k + a – 4}}{8}} \right)^2} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
{\left( {k + a – 4} \right)^2} + 16\left( {k – 1} \right) = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
\varphi \left( k \right) = {k^2} + 2\left( {a – 4 + 8} \right)k + {\left( {a – 4} \right)^2} – 16 = 0
\end{array} \right.\)
Như vậy qua $A$ sẽ kẻ được tới đồ thị $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi \(\varphi \left( k \right)\) có $2$ nghiệm phân biệt \({k_1},{k_2} \ne 4-a\) sao cho \({k_1}.{k_2} =  – 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a – 4} \right)^2} – 16 =  – 1\\
\varphi \left(4-a \right) = 16(3-a)\ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 \pm \sqrt {15} \\
a \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4 \pm \sqrt {15} \)
Kết luận: các điểm cần tìm là $A$ \(\left( {0;4 \pm \sqrt {15} } \right)\)