Cho hàm số: $y = \frac{x^2+ 2x + 2}{x + 1}\,\,\,\,(C)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ($C)$Dùng đồ thị giải thích tại sao phương trình $\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} = m(x + 1)$ với tham số $m > 1$ có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng là một số không đổi.$2$. Chứng minh có hai tiếp tuyến của $(C)$ đi qua điểm $A(1;0$) và vuông góc với nhau.
Bài giải chi tiết:
$1.$ Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị. Với $m>1$ thì đường thẳng $y=m(x+1)$ luôn đi qua tâm đối xứng của đồ thị và nằm trong góc nhọn giữa $2$ tiệm cận, do đó luôn cắt đồ thị tại $2$ điểm $A_1(x_1,y_1)$ và $A_2(x_2,y_2)$ đối xứng với nhau qua $I(-1,0)$(giao hai tiệm cận và là tâm đối xứng của đồ thị) $\Rightarrow \forall m>1$phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac{x_1+x_2}{2}=-1 $ hay $x_1+x_2=-2$ không đổi
$2.$ đường thẳng đi qua $a(1,0)$, hệ số góc $k$ có phương trình $y=k(x-1)$.Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến của đồ thị hà số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1} =x+1+\frac{1}{x+1} $ khi hệ phương trình có nghiệm:
$(H) \begin{cases}x+1+\frac{1}{x+1} =k(x-1) (1)\\ 1-\frac{1}{(x+1)^2}=k (2)\end{cases} $
Ta có $(2)\Leftrightarrow x+1-\frac{1}{x+1}=k(x+1)(2′) $
$(1)$ và $(2′)\Rightarrow \frac{2}{x+1}=-2k\Rightarrow \frac{1}{x+1} =-k $
do đó $(H)\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{x+1}=-k (3) \\ 1-\frac{1}{(x+1)^2} (2) \end{cases} $
$(H)$ sẽ có nghiệm $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)\Leftrightarrow \begin{cases}-k\neq 0 \\ 1-(-k)^2=k \end{cases} $
$\Leftrightarrow k_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2} $
Vậy qua $A(1;0)$ kẻ được tới đồ thị hai tiếp tuyến $y=k_1(x-1),y=k_2(x-1)$.Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau vì $k_1.k_2=-1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xét hàm số với tham số $a:$ \(y = 2{x^3} + ax^2 – 12x – 13\) 1. Với những giá trị nào của $a$ thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trực tung?2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 3.$
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} – 5m + 3}}{x}\)$1$.Với giá trị dương nào của $m$ thì hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng \(0 < x < 2m\).$2. a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$ $b)$ Qua điểm $A(1, 0)$ viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
- $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$2$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $ A, B$. xác định giá trị của m để độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.
- Vẽ đồ thị hàm số: $y=|x|+|x-1|$.
- Cho hàm số: $f(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2ax + {a^2} + 2a + 1$.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $a = 0$.b) Xét các giá trị của $a$ để phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Với mỗi $a$ đó, gọi ${x_a}$là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định $a$ để ${x_a}$ nhỏ nhất.
- Cho hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 5$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.3) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y = kx$
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=x^2+2x-2$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty .)$
- Cho hàm số: $y = kx^4+ (k – 1)x^2 + (1 – 2k)$$1$. Xác định các giá trị của tham số $k$ để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.$2$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $k = \frac{1}{2}$$3$. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị ở phần $2)$ đi qua gốc tọa độ.
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=F(x)=\begin{cases}-x+\frac{3}{2} nếu x\leq -\frac{1}{2} \\ -2x^2+x+3, nếu x>-\frac{1}{2} \end{cases}$
Trả lời