Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} + (m + 2)x – m}}{{x + 1}}$ (1)a) Với giá trị nào của $m$, hàm số (1) có cực đại, cực tiểu?b) Xác định giá trị của $m$ để cho đường thẳng $y = – (x + 4)$ cắt đường cong (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ nhất
Bài giải chi tiết:
a) Ta có: $y = x + m + 1 – \frac{{2m + 1}}{{x + 1}}$
Và $y’ = 1 + \frac{{2m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{(x + 1)}^2} + (2m + 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Muốn hàm số có cực đại, cực tiểu thì $y’$ triệt tiêu tại hai điểm và đổi dấu qua hai điểm đó $ \Rightarrow 2m + 1
b) Trước hết tìm điều kiện đối với $m$ để đường thẳng $y = – (x + 4)$ cắt đường cong $(1)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ phương trình : $\frac{{{x^2} + (m + 2)x – m}}{{x + 1}} = – (x + 4)$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ phương trình $2{x^2} + (m + 7)x + 4 – m = 0$ $(2)$ có hai nghiệm phân biệt $ \ne – 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2.{( – 1)^2} + (m + 7)( – 1) + 4 – m \ne 0\\
\Delta = {(m + 7)^2} – 8(4 – m) > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1/2\\
{m^2} + 22m = 17 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m – 11 + \sqrt {104} {\rm{ (m}} \ne {\rm{ – 1/2)}}$ $(3)$
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai giao điểm, ta có ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của $(2)$; theo định lý Viet ta có
$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = – \frac{{m + 7}}{4} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = – \frac{{m + 7}}{2}$
Lại do hai giao điểm đối xứng qua đường phân giác $y = x$ nên tung độ của hai giao điểm lần lượt là ${x_2},{x_1} \Rightarrow {x_2} = – ({x_1} + 4) \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = – 4$
Từ đó ta có $ – \frac{{m + 7}}{2} = – 4 \Leftrightarrow m = 1$ thỏa mãn $(3)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số: $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$
- Cho hàm số: $y = x^4 – 2mx^2 + 2m + m^4$$1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu? Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$
- Cho hàm số: $ y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m (C_m) $ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $ (C_m) $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}$ (1)1) Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó.2) Tìm $m$ để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện: $| {{y_{CD}} – {y_{CT}}} | > 8$3) Giả sử $m \ne 0$ và $m \ne 1$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1
- Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}(\sin a + \cos a){x^2} + \frac{3\sin 2a}{4}x$. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
- Cho hàm số: $y = 2{x^3} – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\,\,\, (1)$$1.$ Khảo sát hàm số $(1)$ khi $m = 1.$$2.$ Chứng minh rằng với mọi $m$, hàm số ($1$) luôn đạt cực trị tại $x_1; x_2$ với $x_2 – x_1$ không phụ thuộc $m.$
- Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{m^2}x + {m^2}}}{{x + 1}}$1) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị?2) Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có 2 điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ứng với $m = 2$
- Cho hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{x – 3}}\)$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số$2.$ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi \(0 \le x \le 2\)
- Cho hàm số: $y = \frac{{x^2 + (m + 1)x – m + 1}}{x – m}$$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 2.$$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với $m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
Trả lời