Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} – 5m + 3}}{x}\)$1$.Với giá trị dương nào của $m$ thì hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng \(0 < x < 2m\).$2. a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$ $b)$ Qua điểm $A(1, 0)$ viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị Bài giải chi tiết:
$1$. Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} – 5m + 3}}{x} = x + {m^2} + \frac{{2{m^2} – 5m + 3}}{x}\\
\Rightarrow y’ = 1 – \frac{{2{m^2} – 5m + 3}}{{{x^2}}}
\end{array}\)
– Nếu \(2{m^2} – 5m + 3 \le 0 \Rightarrow y’ > 0,\forall x \ne 0\)
Nên hàm số không có cực trị.
– Nếu \(2{m^2} – 5m + 3 > 0\)
\( \Rightarrow y’\) có $2$ nghiệm phân biệt: \({x_1} = -\sqrt {2{m^2} – 5m + 3} ;{x_2} = \sqrt {2{m^2} – 5m + 3} \)
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng: \(\begin{array}{l}
0 m > 0\\
0 \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
2{m^2} – 5m + 3 > 0\\
2{m^2} + 5m – 3 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2} \frac{3}{2}
\end{array}\)
$2. a)$ Khi $m=2$ hàm số trở thành: \(y = x + 4 + \frac{1}{x}\). Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị.
$b)$ Đường thẳng qua $A(1, 0)$ với hệ số góc $k$ có phương trình \(y = k\left( {x – 1} \right)\).
Đường thẳng này là tiếp tuyến \( \Leftrightarrow \) hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: \(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} + 4 = k\left( {x – 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
1 – \frac{1}{{{x^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\,\,\,\)
Lấy $(1)$ chia cho $x$ rồi trừ cho $(2)$, ta có:
\(\frac{2}{x} = – 4 – k \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{ – \left( {k + 4} \right)}}{2}\)
\(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 – \frac{1}{{{x^2}}} = k\,\,\,\left( 2 \right)\\
\frac{1}{x} = \frac{{ – \left( {k + 4} \right)}}{2}\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.\)
Hệ $(H)$ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi $(3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + 4 \ne 0\\
1 – \frac{{{{\left( {k + 4} \right)}^2}}}{4} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne – 4\\
{k^2} + 12k + 12 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow k = – 6 \pm 2\sqrt 6 \)
Vậy có $2$ tiếp tuyến qua $A(1, 0)$. Phương trình $2$ tiếp tuyến đó là: \(y = \left( { – 6 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {x – 1} \right);y = \left( {6 – 2\sqrt 6 } \right)\left( {x – 1} \right)\)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
Trả lời