Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2) Tìm trên trục $Oy$ các điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị $(C)$.3) Xác định $a$ để đồ thị $(C)$ tiếp xúc với parabol $y = {x^2} + a$
Bài giải chi tiết:
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ Tìm $A(0, b)$ là một điểm trên trục $Oy$ mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ có phương trình $y = kx + b$ đi qua.
Ta có: $y = x + \frac{1}{{x – 1}},y’ = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$.
Khi đó: ${y_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} – 1}},k = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}},{y_0} = k{x_0} + b$
$ \Rightarrow b = {y_0} – k{x_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} – 1}} – \left[ {1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}} \right]{x_0}$
$\frac{{2{x_0} – 1}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 1 + \frac{{x_0^2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \ge – 1$, (dấu = xảy ra khi ${x_0} = 0$).
Thành thử các điểm trên trục $Oy$ từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đồ thị $(C)$ là các điểm có tung độ $b \ge 1$.
$3)$ Hoành độ tiếp điểm của parabol $y = {x^2} + a$ với đồ thị $(C)$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{{x – 1}} = {x^2} + a{\rm{ (1)}}\\
1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 2x{\rm{ (2)}}
\end{array} \right.$
${\rm{(2)}} \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 = 2x{\left( {x – 1} \right)^2} \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) = 2x{\left( {x – 1} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} – 5x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Thế $x = 0$ vào $(1)$ ta có $a = – 1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{{ – {x^2} + x + a}}{{x + a}}$, trong đó $a$ là tham số.1) Xác định $a$ để đồ thị hàm số có tiện cận xiên đi qua điểm $(0; 2)$.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị vừa tìm được của $a$.2) Xác định tất cả các giá rị của $a$ để đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = x – 1$ tại 2 điểm phân biệt. Khi đó gọi ${y_1},{y_2}$ là tung độ của 2 giao điểm, hãy tìm một hệ thức giữa ${y_1},{y_2}$ không phụ thuộc vào $a$
- Cho parabol: $y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} – 1$. Trong đó $m$ là tham số.a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi $m$ biến thiênb) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng $y = x$ với parabol không phụ thuộc vào $m$.c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
- Cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình: \(d_1: (a+b)x+y=1\) \(d_2: (a^2-b^2)x+ay=b\).a) Tìm giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) biện luận theo \(a,b\)b) Tìm điều kiện của \(a\) và \(b\) để \(d_1\) và \(d_2\) và trục hoành cắt nhau tại 1 điểm.
- Cho hàm số: $y = {x^3} – 3x\,\,(1)$$1$. Khảo sát hàm số ($1).$$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình $y = m(x + 1) + 2$ luôn cắt đồ thị hàm số ($1$) tại một điểm $A$ cố định.Hãy xác định các giá trị của $m$ để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ($1$) tại $3$ điểm $A, B, C$ khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.
- Cho các đường: $y = – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x$ $(P)$ và $y = m(x – 3)$ $(T)$1) Với giá trị nào của $m$ thì $(T)$ là tiếp tuyến của $(P)$?2) Chứng tỏ họ $(T)$ đi qua một điểm cố định $A$ thuộc $(P)$.3) Gọi $A, B, C$ là các giao điểm của $(P)$ và $(T)$. Hãy tìm m để $OB \bot OC$ ($O$ là gốc tọa độ)
- Cho hàm số: $y = x^3 – \frac{3}{2}mx^2 + \frac{1}{2}{m^3}$ với $m$ là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$$2$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x.$$3$. Xác định $m$ để đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB = BC.$
- Tính đạo hàm các hàm số sau đây:a) $y=\sin 3x-\cos3x$ b) $y=\frac {x}{\sin x}$ c) $y=\sin ^32x$ d) $y= \cos \frac{1}{x}$
- Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – (2m + 1)x + {m^2} – m}}{{x + {m^2} + 4m + 5}}$trong đó $m$ là tham số1) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Ox$, khi $m$ thay đổi.2) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Oy$, khi $m$ thay đổi
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
Trả lời