Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2}cos\alpha – 2x + cos\alpha }}{{{x^2} – 2xcos \alpha + 1}}$Với tham số $\alpha \in (0; \pi)$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$, ta đều có $ – 1 \le y \le 1$
Bài giải chi tiết:
Ta có: $y = \frac{{{x^2}c{\rm{os}}\alpha – 2x + c{\rm{os}}\alpha }}{{{{\left( {x – c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} + {{\sin }^2}\alpha }}$
Do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $\sin \alpha > 0{\rm{ }} \Rightarrow $ hàm số luôn xác định với mọi $x$ $ \Rightarrow $ phương trình (ẩn số là $x$)
$y({x^2} – 2x\cos \alpha + 1) = {x^2}c{\rm{os}}\alpha – 2x + c{\rm{os}}\alpha $
$ \Leftrightarrow (y – c{\rm{os}}\alpha ){x^2} – 3(y\cos \alpha – 1)x + (y – c{\rm{os}}\alpha ) = 0$ có nghiệm
a) $y = c{\rm{os}}\alpha $; do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$nên $c{\rm{os}}\alpha \ne \pm {\rm{1 }} \Rightarrow {\rm{x}} = 0$
Từ đó ta có $\left| y \right| = \left| {c{\rm{os}}\alpha } \right|
b) $y \ne c{\rm{os}}\alpha $:
$\Delta ‘ = {(y\cos \alpha – 1)^2} – {(y – c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}^2} \ge 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ (y}} – 1{)^2}({\cos ^2}\alpha – 1) \ge 0$
Lại do $\alpha \in (0{\rm{ ; }}\pi {\rm{)}}$ nên $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha – 1 Từ đó: ${y^2} – 1 \le 0 \Leftrightarrow \left| y \right| \le 1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xác định tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:a) $y=\tan (2x-\frac{\pi}{4} )$ b) $y= 2\sin^2(3x+\frac{\pi}{5} )$
- Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm mọi cấp trên $R$, và thỏa mãn điều kiện $f'( {\frac{{x + y}}{2}} ) = \frac{{f(y) – f(x)}}{{y – x}},\forall x, y \in R,x \ne y$ (1)Chứng minh: $f(x) = f''(0)\frac{{{x^2}}}{2} + f'(0)x + f(0),\forall x \in R$
- Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
- Bỏ dấu trị tuyệt đối trong biểu thức của \(f(x)\)a) \(f(x)=|-3x+2|\) b) $ f(x)=|2x+5||3-4x|$
- Cho $a,b$ là các số thực cho trước. Xác định tất cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn mỗi một tính chất sau đây:a) $f(a-x)=f(x)$, với mọi $x\in R$b) $f(a-x)+f(x)=b$, với mọi $x\in R$
- Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
- Xét hàm số $x \rightarrow y = f(x) = \frac{{x – 1}}{x}$$a)$ Xác định tập hợp $E \subset $ $R$ sao cho $f$ là một song ánh từ $E$ vào $E..$$b)$ Xác định hàm số ngược $f^{-1}.$
- Cho hàm số $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2} $ Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
- Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$; $f(0) = c$. Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết: $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $
Trả lời