Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$$3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$
Bài giải chi tiết:
$1.$ $y^/=\frac{x^2-2mx+2m^2-m-2}{(x-m)^2} $ Hàm số đồng biến $\forall x>1$
$\Leftrightarrow y^/\geq 0,\forall x>1\Leftrightarrow \begin{cases}\varphi(x)=x^2-2mx+2m^2-m-2\geq 0,\forall x>1 \\ x\neq m,\forall x>1 \Leftrightarrow m\leq 1 (a)\end{cases} $
$\varphi(x)\geq 0,\forall x>1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ‘=m^2-(2m^2-m-2)=-m^2+m+2\leq 0\\\begin{cases}\Delta ‘=-m^2+m+2>0 \\\varphi (1)=2m^2-3m-1\geq 0 \\\frac{x_1+x_2}{2}=m$\Leftrightarrow m\leq \frac{3-\sqrt{17} }{4};m\geq 2 (b) $
Từ $(a)$ và $(b)\Rightarrow $ ĐS : $m\leq \frac{3-\sqrt{17} }{4}$
$2.$ Xin dành cho bạn đọc.
$3.$ Chú ý rằng $x_0$ là $1$ nghiệm của phương trình $\Leftrightarrow -x_0$ cũng là nghiệm, do đó chỉ cần xét số nghiệm $\geq 0$ của phương trình ra có thể suy ra ngay số nghiệm của phương trình.Với $x\geq 0$ thì phương trình trở thành $\frac{x^2-2x+3}{x-1} =a$, do đó số nghiệm $\geq 0$ của phương trình đã cho đúng bằng số giao điểm của đường thẳng $y=a$ với phần bên phải trục tung của đồ thị.Từ đó ta có:
– Nếu $\left[ \begin{array}{l}a- Nếu $a=-3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất
– Nếu $-3– Nếu $a>2\sqrt{2} $ thì phương trình có $4$ nghiệm phân biệt
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Trả lời