Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$

$1)$     $y = x + 1 + \frac{1}{{x – 1}}$
Hàm số xác định với $x \ne 1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$.
Ta có:  $y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{{(x – 1)}^2} – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị

$2)$ Phương trình đã cho tương đương với
$1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{2\sin x\cos x}} = m$                $(1)$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}(x – \pi /4)$, khi đó do $0 $t + 1 + \frac{1}{{t – 1}} = m$
Ta có vế trái có đồ thị vẽ ở phần $1$, $y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)$. Từ đó ta có :
với $m = 2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)$ thì $t = \sqrt 2 $: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất $\pi /4$.
Với $m > 2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)$ thì $1