Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
Bài giải chi tiết:
$1)$ $y = x + 1 + \frac{1}{{x – 1}}$
Hàm số xác định với $x \ne 1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$.
Ta có: $y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{{(x – 1)}^2} – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị
$2)$ Phương trình đã cho tương đương với
$1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{2\sin x\cos x}} = m$ $(1)$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}(x – \pi /4)$, khi đó do $0 $t + 1 + \frac{1}{{t – 1}} = m$
Ta có vế trái có đồ thị vẽ ở phần $1$, $y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$. Từ đó ta có :
với $m = 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ thì $t = \sqrt 2 $: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất $\pi /4$.
Với $m > 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ thì $1
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng nếu $0
Trả lời