Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3mx + 3m + 4\,\,\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m =1$$2$. Hãy xác định giá trị của $m$ để đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) nhân điểm $I(1, 2)$ làm điểm uốn$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với trục hoành.

$1$. Bạn đọc tự giải.

$2$. Ta có:  \(y’ = 3{x^2} – 6x + 3m\,,\,\,y” = 6x – 6\)

\(\left( {{C_m}} \right)\) nhận điểm $I(1, 2)$ làm điểm uốn
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y”\left( 1 \right) = 1\\
y\left( 1 \right) = 2
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 1 – 3 + 3m + 3m + 4 = 2 \Leftrightarrow m = 0\)

$3$. \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với $Ox$ \( \Leftrightarrow\) hệ phương trình sau có nghiệm:
\(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} – 6x + 3m = 0\\
{x^3} – 3{x^2} + 3mx + 3m + 4 = 0
\end{array} \right.\)
$(H)$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m =  – 3{x^2} + 6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,                 \left( 1 \right)\\
{x^3} – 3{x^2} + \left( { – 3{x^2} + 6x} \right)\left( {x + 1} \right) + 4 = 0\,\,         \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(2)$ \( \Leftrightarrow  – 2{x^3} + 6x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =- 1;\,x = 2\)

$(H)$ có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}
x =- 1\\
x = 2
\end{array} \right.\,\,\) thỏa mãn $(1)$
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3m =- 9\\
3m = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =- 3\\
m = 0
\end{array} \right.\)