Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$ có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường $y = 1$ tại ba điểm phân biệt $C(0; 1), D, E$ sao cho tiếp tuyến tại $D, E$ vuông góc với nhau.
Bài giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là:
$ {{\rm{x}}^{\rm{3}}} + {\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ mx }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{x}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 3x }} + {\rm{ m}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
{x^2} + 3x + m = 0 & (2)
\end{array} \right. $
(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
$\Leftrightarrow $ phương trình (2) có 2 nghiệm $x_D, x_E \neq 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 9 – 4m > 0\\
{0^2} + 3 \times 0 + m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \end{array} \right. $ (*)
Khi đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
$ {{\rm{k}}_{\rm{D}}} = {\rm{y’}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{D}}}} \right) = 3x_D^2 + 6{x_D} + m = – (3{x_D} + 2m); $
$ {{\rm{k}}_{\rm{E}}} = {\rm{y}}’\left( {{{\rm{x}}_{\rm{E}}}} \right) = 3x_E^2 + 6{x_E} + m = – (3{x_E} + 2m). $
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau khi và chỉ khi: $ \begin{array}{l}
{{\rm{k}}_{\rm{D}}}{{\rm{k}}_{\rm{E}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ 2m}}} \right)\left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} + {\rm{ 2m}}} \right){\rm{ }} = – {\rm{1}}\\\Leftrightarrow {\rm{9}}{{\rm{x}}_{\rm{D}}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} + {\rm{6m}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{E}}}} \right){\rm{ }} + {\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}}\\
\Leftrightarrow {\rm{9m }} + {\rm{ 6m}}\left( {-{\rm{3}}} \right){\rm{ }} + {\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{1}}
\end{array} $
$ {\rm{4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}-{\rm{ 9m }} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{9 + \sqrt {65} }}{8}\\
m = \frac{{9 – \sqrt {65} }}{8}
\end{array} \right. $ (vì $ {{\rm{x}}_{\rm{D}}} + {\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} = {\rm{ }}-{\rm{3}};{\rm{ }}{{\rm{x}}_{\rm{D}}}{{\rm{x}}_{\rm{E}}} = {\rm{ m}} $ theo Vi-ét).
So sánh với (*) ta có: m = $ \frac{1}{8}\left( {9 \pm \sqrt {65} } \right)\,\, $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
Trả lời