Cho hàm số $ y = x^3+ mx^2+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt $d: y = – x+ 1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;1), B, C$ sao cho các tiếp tuyến của $(Cm)$ tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.
Bài giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: $ {x^{\rm{3}}} + m{x^{\rm{2}}} + {\rm{ 1 }} = {\rm{ }}-x + {\rm{ 1}} \Leftrightarrow x\left( {{x^{\rm{2}}} + mx + {\rm{ 1}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 $ (*)
Đặt $g(x) = x^2 + mx + 1$.
Ta có d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta g = {m^2} – 4 > 0\\
g\left( 0 \right) = 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \end{array} \right. $ .
Vì $x_B , x_C$ là nghiệm của g(x) = 0 $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = {x_B} + {x_C} = – m\\
P = {x_B}{x_C} = 1
\end{array} \right. $ .
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: $ f’\left( {{x_C}} \right)f’\left( {{x_B}} \right) = – 1 $
$ \Leftrightarrow {x_B}{x_C}\left( {3{x_B} + 2m} \right)\left( {3{x_C} + 2m} \right) = – 1 $
$ \Leftrightarrow {x_B}{x_C}\left[ {9{x_B}{x_C} + 6m\left( {{x_B} + {x_C}} \right) + 4{m^2}} \right] = – 1 $
$ \Leftrightarrow 1\left[ {9 + 6m\left( { – m} \right) + 4{m^2}} \right] = – 1 $
$ \Leftrightarrow 2{m^2} = 10 $ $ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 $ (nhận so với điều kiện)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
Trả lời