Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Bài giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là $R$
$y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} (2 \cos ^2x -1)+\frac{ 1}{ 3} (4 \cos ^3 x -3 \cos x )$
$= \frac{ 4}{ 3} \cos ^3 x +\cos ^2 x +\frac{ 1}{ 2} $
Đặt $\cos x =t,$ với mọi $x$ thì $|t| \leq 1 (A)$
Hàm số có dạng $f(t) = \frac{ 4}{ 3} t^3+t^2+\frac{ 1}{ 2} $ với $t \in (A)$
$f'(t)=4t^2+2t$
$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=0, t=-\frac{ 1}{ 2} \in (A)$
$f(-1)=-\frac{ 4}{ 3} +1+\frac{ 1}{ 2} =\frac{ 1}{ 6} $
$f(0)=\frac{1 }{ 2} $
$f(-\frac{ 1}{ 2})=\frac{ 4}{ 3}(-\frac{ 1}{ 2} )^3+\frac{1 }{ 4}+\frac{ 1}{ 2}=\frac{ 7}{12 } $
$f(1)=\frac{ 4}{ 3}+1+\frac{1 }{2 } =\frac{ 17}{ 6} $
$\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A f(t)=Max \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(1)} \right\} = f(1)=\frac{ 17}{ 6} $
$\mathop {Min}\limits_A f(t)=Min \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(0),f(1)} \right\} = f(-1)=\frac{1 }{ 6} $
Đáp số:
$Max y = \frac{ 17}{ 6} $ đạt được khi $x=2k\pi$
$Min y =\frac{ 1}{ 6} $ đạt được khi $x=\pi+2k\pi$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Chứng minh rằng nếu $0
Trả lời