Cho hàm số :  $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max  y , min  y.$

Tập xác định của hàm số là $R$
     $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} (2 \cos ^2x -1)+\frac{ 1}{ 3} (4 \cos ^3 x -3 \cos x )$
        $= \frac{ 4}{ 3} \cos ^3 x +\cos ^2 x +\frac{ 1}{ 2}  $
Đặt $\cos x =t,$ với mọi $x$ thì $|t| \leq 1   (A)$
Hàm số có dạng $f(t) = \frac{ 4}{ 3} t^3+t^2+\frac{ 1}{ 2} $ với $t \in  (A)$
            $f'(t)=4t^2+2t$
            $f'(t)=0  \Leftrightarrow  t=0, t=-\frac{ 1}{ 2}  \in  (A)$
            $f(-1)=-\frac{ 4}{ 3} +1+\frac{ 1}{ 2} =\frac{ 1}{ 6} $
            $f(0)=\frac{1 }{ 2} $
            $f(-\frac{ 1}{ 2})=\frac{ 4}{ 3}(-\frac{ 1}{ 2} )^3+\frac{1 }{ 4}+\frac{ 1}{ 2}=\frac{ 7}{12 } $
            $f(1)=\frac{ 4}{ 3}+1+\frac{1 }{2 } =\frac{ 17}{ 6} $
            $\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A  f(t)=Max \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(1)} \right\} = f(1)=\frac{ 17}{ 6} $
            $\mathop {Min}\limits_A  f(t)=Min \left\{ {f( – 1),f(0),f\left( { – \frac{1}{2}} \right),f(0),f(1)} \right\} = f(-1)=\frac{1 }{ 6} $
Đáp số:
            $Max  y = \frac{ 17}{ 6} $ đạt được khi $x=2k\pi$
            $Min  y =\frac{ 1}{ 6} $ đạt được khi $x=\pi+2k\pi$