Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 (1)$$a.$ Tìm quỹ tích điểm uốn.$b.$ Tìm quĩ tích điểm cực đại$c.$ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Bài giải chi tiết:
a. $ {\rm{y’ }} = {\rm{ 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ – 6}}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{ x }} + {\rm{ 6m}}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right) $
$ {\rm{y”}} = {\rm{12x – 6}}\left( {{\rm{2m + 1}}} \right)$
${\rm{ y”}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2m + 1}}{2} $
y” đổi dấu khi x biến thiên qua $\frac{2m+1}{2}$.
Vậy điểm uốn là $ U\left( {\frac{{2m + 1}}{2},f\left( {\frac{{2m + 1}}{2}} \right)} \right) $ .
Từ $ x = \frac{{2m + 1}}{2} $ suy ra $ m = \frac{{2x – 1}}{2} $ , thay vào phương trình y = f(x) ta thu được $ y = 2{x^3} – \frac{3}{2}x + 1. $
Vậy quĩ tích điểm uốn là đồ thị hàm số $ y = 2{x^3} – \frac{3}{2}x + 1. $
b. $ {\rm{y’ }} = {\rm{ 6}}\left[ {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ – }}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{x }} + {\rm{ m }}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right)} \right]$
${\rm{ y’ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
x = m + 1
\end{array} \right. $
Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng
$y’(x) $y’(x) > 0 \forall {\rm{x }} \in ( – \infty ,{\rm{ m}}) \bigcup ({\rm{m }} + {\rm{ 1}},{\rm{ + }}\infty ) $
Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng.
Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$.
Vậy đồ thị của hàm $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi.
c. Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết ở câu a.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Gọi $(P)$ là parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$ và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm $A(1,3)$.a) Hãy biểu diễn $b, c$ qua $a$.b) Tìm quỹ tích đỉnh của $(P)$ khi $a$ thay đổi.c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà $(P)$ không thể đi qua
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x\), cắt đồ thị của hàm số đã cho tại các điểm $M, N$. tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.$3$. Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình sau \({x^2} – \left( {1 + m} \right)|x| – m – 1 = 0\)
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x\), cắt đồ thị của hàm số đã cho tại các điểm $M, N$. tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.$3$. Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình sau \({x^2} – \left( {1 + m} \right)|x| – m – 1 = 0\)
- Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm $A\left ( 7;51 \right ), B\left ( 4;12 \right ), C\left ( 5;25+\sqrt{2} \right )$Điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đồ thị hàm số:$$y=x^{2}+\sqrt{x-3}$$
- Cho hàm số $y = x^3 – 1$ và năm điểm $A(2;7), B(-2; -9), C(0; 1), D(1; 5), E(-2; 7)$.a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thuộc đồ thị (H) của hàm số, còn hai điểm $D, E$ không thuộc (H).b) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.c) Từ kết quả hai câu trên, ta nhận thấy ba điểm $A, B, C$ cùng thuộc (H) và chúng lại cùng nằm trên một đường thằng. Có thể kết luận đồ thị (H) của hàm số đã cho là một đường thẳng được không?
- Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3mx + 3m + 4\,\,\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m =1$$2$. Hãy xác định giá trị của $m$ để đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) nhân điểm $I(1, 2)$ làm điểm uốn$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với trục hoành.
- Gọi $(C_m)$ là đồ thị hàm số $y=mx^3-3x$.a) Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định mà tất cả các đường cong $(C_m)$ đều đi qua với mọi $m$.b) Chứng minh rằng tại điểm cố định đó tất cả các đường cong $(C_m)$ đề có chung một tiếp tuyến.
- Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm $A(3 , 0)$ và parabol $(P)$ có phương trình $y = {x^2}$.a) $M$ là một điểm thuộc parabol $(P)$, có hoành độ ${x_M} = a$. Tính độ dài đoạn $AM$, xác định $a$ để $AM$ ngắn nhất.b) Chứng tỏ rằng nếu đoạn $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của parabol $(P)$
- Cho họ đường cong \(y = \frac{{ – {x^2} + mx – {m^2}}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị đường cong khi $m = 1$$2$. Tìm $m$ để đường cong \(\left( {{C_m}} \right)\) có điểm cực đại và cực tiểu$3$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có đúng hai đường của họ \(\left( {{C_m}} \right)\) đi qua.
Trả lời