Cho hàm số   $y=f(x)=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1    (1)$$a.$ Tìm quỹ tích điểm uốn.$b.$ Tìm quĩ tích điểm cực đại$c.$ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.

a.  $ {\rm{y’ }} = {\rm{ 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ –  6}}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{ x }} + {\rm{ 6m}}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right) $
$ {\rm{y”}} = {\rm{12x – 6}}\left( {{\rm{2m + 1}}} \right)$
${\rm{ y”}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2m + 1}}{2} $
y” đổi dấu khi x biến thiên qua $\frac{2m+1}{2}$.
Vậy điểm uốn là  $ U\left( {\frac{{2m + 1}}{2},f\left( {\frac{{2m + 1}}{2}} \right)} \right) $ .
Từ  $ x = \frac{{2m + 1}}{2} $  suy ra  $ m = \frac{{2x – 1}}{2} $ , thay vào phương trình y = f(x) ta thu được  $ y = 2{x^3} – \frac{3}{2}x + 1. $  
Vậy quĩ tích điểm uốn là đồ thị hàm số $ y = 2{x^3} – \frac{3}{2}x + 1. $

b.  $ {\rm{y’ }} = {\rm{ 6}}\left[ {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ –  }}\left( {{\rm{2m }} + {\rm{ 1}}} \right){\rm{x }} + {\rm{ m }}\left( {{\rm{m }} + {\rm{ 1}}} \right)} \right]$
${\rm{ y’ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m\\
x = m + 1
\end{array} \right. $
Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng
$y’(x) $y’(x) > 0 \forall {\rm{x }} \in ( – \infty ,{\rm{ m}}) \bigcup   ({\rm{m }} + {\rm{ 1}},{\rm{  + }}\infty ) $

Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng.
Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$.
Vậy đồ thị của hàm $y = 2x^3 + 3x^2 + 1$ là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi.

c. Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết ở câu a.