Cho hàm số: $y=\sqrt{x^{2}-8x+32}+\sqrt{x^{2}-6x+18}$Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$.
Bài giải chi tiết:
Ta có: $x^{2}-8x+32=(x-4)^{2}+16>0 \forall x.$
$x^{2}-6x+18=(x-3)^{2}+9>0 \forall x.$
Tập xác định $D_{y}=R$
Xét hai điểm sau: $\begin{cases} A(x-4;-4) \\ B(x-3;3)\end{cases} $
$\Rightarrow \begin{cases} OA=\sqrt{x^{2}-8x+32} \\ OB=\sqrt{x^{2}-6x+18} \\AB= \sqrt{1^{2}+7^{2}}=5\sqrt{2}\end{cases} $
Do $OA+OB\geq AB$ và dấu “=” xảy ra khi $\overrightarrow {OA} $ cùng phương với $\overrightarrow {OB}$,tức là:
$ \sqrt{x^{2}-8x+32}+\sqrt{x^{2}-6x+18} \geq 5\sqrt{2}$, dấu bằng $\Leftrightarrow 3(x-4)=-4(x-3) $
$\Leftrightarrow y\geq 5\sqrt{2}$, dấu bằng$\Leftrightarrow x=\frac{24}{7} $
Vậy Min $y=5\sqrt{2}$ khi $x=\frac{24}{7}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời