Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+1$.Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.
Bài giải chi tiết:
Với phép biến đổi tọa độ:
$\begin{cases} X=x-1 \\Y=y+1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=X+1 \\y=Y-1 \end{cases} $
Khi đó hàm số có dạng:
$Y-1=(X+1)^{3}-3(X+1)^{2}+1 \Leftrightarrow Y=X^{3}-3X$ (1)
Hàm số (1) là hàm số lẻ.
Vậy,đồ thị hàm số nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,với $c \neq 0,D=ad-bc \neq 0.$ Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm $I(-\frac{d}{c};\frac{a}{c})$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Chứng minh rằng đường thẳng $d: y = – x + 1$ là truc đối xứng của $(C)$.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-mx+m-1}{x-2}$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số nhận điểm $I(2;3)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + (m – 2)x + m + 1}{x + 1}\,\,\,$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 2.$$2.$ Tìm $m$ để trên đồ thị có hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho :$\begin{array}{l} 5{x_A} – {y_A} + 3 = 0; 5{x_B} – {y_B} + 3 = 0\end{array}$Tìm $m$ để hai điểm $A, B$ đó đối xứng với nhau qua đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x + 5y + 9 = 0$
- Cho hàm số $y = \frac{2x^2 + (m – 4)x – 2m + 1}{x – 2} (1)$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số $(1)$ nhận điểm $(2; 1)$ làm tâm đối xứng.
- Cho hàm số $y = 2x^3 – (2 + m)x^2 + 1 (1)$ , với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có $2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
- Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$
- Cho hàm số: $y = \frac{x}{1 + x}$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:$a)$ $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua $I.$$3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b$ ta có: $\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?
Trả lời