Cho hàm số:$y = {x^3} – 3{x^2} + 2$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ($C$) của hàm số.$2$. Viết phương trình tiếp tuyến của ($C$) đi qua điểm $A(-1;-2)$$3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để phương trình ${x^3} – 3{x^2} – a = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$.
Bài giải chi tiết:
$1.$ $y=x^3-3x^2+2$
* TXĐ: $R$
* Sự biến thiên:
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty }= \mathop {\lim x^3 \left ( 1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3} \right ) }\limits_{x \to + \infty }=+ \infty $
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty }=- \infty $
Có: $y’=3x^2-6x$
$y’=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0 \\ x=2 \end{gathered} \right. $
BBT: 
Hàm số đồng biến trên $(- \infty ; 0)$ và $(2;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$
Hàm số đạt cực đại tại $x=0, y_{CĐ}=2$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2, y_{CT}=-2$
* Đồ thị
$\cap Ox:$ $x^3-3x^2+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=1 \\ x=1+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3} \end{gathered} \right. $
Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại $(1;0), (1+\sqrt{3};0 )$ và $(1-\sqrt{3} ;0)$
Giao $Oy$ tại $(0;2)$
$y”=6x-6$
$y”=0 \Leftrightarrow x=1$
Vậy đồ thị hàm số nhận $(1;0)$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị:
$2)$ Đường thẳng đi qua $A(-1;-2)$, hệ số góc k có phương trình: $y = k(x + 1) – 2.$
Đường thẳng này là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} – 3{x^2} + 2 = k(x + 1) – 2\,\,\,(1)\\
3{x^2} – 6x = k\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
Từ $(2)$ thế vào $(1)$ ta được:
$x^3-3x^2+2=(3x^2-6x)(x+1)-2$
$\Leftrightarrow 2x^3-6x-4=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(2x^2-2x-4)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-1 \\ x=2 \end{gathered} \right. $
$\Rightarrow \left[ \begin{gathered} k=9 \\ k=0 \end{gathered} \right. $
Vậy qua $A(-1 ;-2)$ kẻ được hai tiếp tuyến là $y = 9(x + 1) – 2 = 9x + 7$ và $y = 0(x+1) -2 =-2$
$3)$ Ta có: $x^3-3x^2-a=0 \Leftrightarrow x^3-3x^2+2=a+2(*)$
$(*)$ chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
$y=x^3-3x^2+2\,\,\,\,\,(C)$ và đường thẳng $y=a+2$ là đường song song với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $a+2$.
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số, hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình.
Vậy từ đồ thị ta được phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1 $\Leftrightarrow -2
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Xét hàm số với tham số $a:$ \(y = 2{x^3} + ax^2 – 12x – 13\) 1. Với những giá trị nào của $a$ thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trực tung?2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $a = 3.$
- Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} – 5m + 3}}{x}\)$1$.Với giá trị dương nào của $m$ thì hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng \(0 < x < 2m\).$2. a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$ $b)$ Qua điểm $A(1, 0)$ viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
- $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$2$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $ A, B$. xác định giá trị của m để độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.
- Vẽ đồ thị hàm số: $y=|x|+|x-1|$.
- Cho hàm số: $f(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2ax + {a^2} + 2a + 1$.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $a = 0$.b) Xét các giá trị của $a$ để phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Với mỗi $a$ đó, gọi ${x_a}$là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định $a$ để ${x_a}$ nhỏ nhất.
- Cho hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 5$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.3) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y = kx$
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=x^2+2x-2$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty .)$
- Cho hàm số: $y = kx^4+ (k – 1)x^2 + (1 – 2k)$$1$. Xác định các giá trị của tham số $k$ để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.$2$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $k = \frac{1}{2}$$3$. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị ở phần $2)$ đi qua gốc tọa độ.
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=F(x)=\begin{cases}-x+\frac{3}{2} nếu x\leq -\frac{1}{2} \\ -2x^2+x+3, nếu x>-\frac{1}{2} \end{cases}$
Trả lời