Cho hàm:         $y = \frac{{{x^2} + x – 3}}{{x + 2}}$1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2)    Từ kết quả đó, hãy suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số:  $y = \frac{{{x^2} + x – 3}}{{\left| {x + 2} \right|}}$3)    Tìm các điểm thuộc trục hoành sao cho từ mỗi điểm ấy có thể vẽ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1

$1)$    Viết lại hàm số dưới dạng
$y = x – 1 – \frac{1}{{x + 2}}$
    Hàm số xác định với mọi $x \ne  – 2$.
    Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng $x =  – 2$, tiệm cận xiên $y = x – 1$.
    Ta có $y’ = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  – 2 \Rightarrow $hàm số y luôn đồng biến, $\forall x \ne  – 2$.
Bạn đọc tự vẽ đồ thị

$2)$    Ta có:
$y = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + x – 3}}{{x + 2}}{\rm{ }}      khi      {\rm{ }}x > – 2\\
\frac{{{x^2} + x – 3}}{{x + 2}}{\rm{             khi      x \end{array} \right.$
    Do đó khi $x > – 2$ đồ thị của $y$ là phần đồ thị đã vẽ ở phần $1$;
khi ${\rm{x
$3)$    Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số phần $1)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0},0} \right)$và có hệ số góc $k$ có dạng $y = k\left( {x – {x_0}} \right)$.
Gọi $x \ne – 2$ là hoành độ tiếp điểm. Để $k$ là duy nhất thì $x \ne – 2$ là nghiệm duy nhất của hệ
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 – \frac{1}{{x + 2}}{\rm{ }} = k\left( {x – {x_0}} \right)\\
1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{ }} = k{\rm{ }}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x_1} \ne – 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình:
$\left( {x – 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} – \left( {x + 2} \right) = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right]\left( {x + {x_0}} \right)$.
Đặt $x + 2 = u \Rightarrow u \ne 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình:
$\left( {u – 3} \right){u^2} – u = \left( {{u^2} + 1} \right)\left[ {u – 2 – {x_0}} \right]$
$ \Leftrightarrow \left( {1 – x} \right){u^2} + 2u – 2 + {x_0} = 0$            $(1)$

a)    $u = 0$ là nghiệm của $(1)$ $ \Rightarrow {x_0} =  – 2$ (khi đó nghiệm thứ $2$ của $(1)$ là $u = – 2/3 \ne 0$)

b)    $1 – {x_0} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1$, khi đó $(1)$ trở thành:
$2u – 3 = 0 \Leftrightarrow u = 3/2$

c)    $\Delta ‘ = 1 + \left( {1 – {x_0}} \right)\left( {2 + {x_0}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x_0^2 + {x_0} – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \left( { – 1 \pm \sqrt {13} } \right)/2$

Đáp số: $A\left( { – 2,0} \right),A\left( {1,0} \right),$  $A\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {13} }}{2},0} \right),A\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {13} }}{2},0} \right)$