Cho hình chóp tam giác $S.ABC, SA = x, BC = y$, các cạnh còn lại đều bằng $1$.$1$. Tính thể tích hình chóp theo $x, y.$$2.$ Với $x, y$ nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?

$1.$ Gọi $M$ và $N$ là trung điểm $SA$ và $BC$.Do giả thiết, $\Delta ABC$ và $CAS$ cân ở $B$ và $C$ nên $BM \bot SA, CM\bot SA\Rightarrow SA\bot(BMC),$ hình chóp có thể tích
$V=\frac{1}{3}SA.dtBMC=\frac{x}{3}.dtBMC$
Dễ thấy $MB=MC=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ nên $\Delta BMC$ cânở $M$ và $MN\bot BC,$
$MN=\sqrt{MC^2-(\frac{y}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$dtMBC=\frac{1}{2}y\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$ , $V=\frac{xy}{6}\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$2.$ Ta có : $ \frac{x^2+y^2}{4}\geq \frac{2xy}{4}=\frac{xy}{2}$
$V\leq \frac{xy}{6}.\sqrt{1-\frac{xy}{2}}=\frac{1}{6}\sqrt{(xy)^2.(\frac{2-xy}{2})}$
$V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{2.\frac{xy}{2}.\frac{xy}{2}.(2-xy)}\leq \frac{1}{6}\sqrt{2(\frac{\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+2-xy}{3})^3}$
$\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{\frac{16}{27}}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$
$V=\frac{2\sqrt{3}}{27}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2xy \\ xy/2=2-xy \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$
Kết luận : Với $x=y=\frac{2}{\sqrt{3}} $ thì $V$  lớn nhất