$1.$ Gọi $M$ và $N$ là trung điểm $SA$ và $BC$.Do giả thiết, $\Delta ABC$ và $CAS$ cân ở $B$ và $C$ nên $BM \bot SA, CM\bot SA\Rightarrow SA\bot(BMC),$ hình chóp có thể tích
$V=\frac{1}{3}SA.dtBMC=\frac{x}{3}.dtBMC$
Dễ thấy $MB=MC=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ nên $\Delta BMC$ cânở $M$ và $MN\bot BC,$
$MN=\sqrt{MC^2-(\frac{y}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$dtMBC=\frac{1}{2}y\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$ , $V=\frac{xy}{6}\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$2.$ Ta có : $ \frac{x^2+y^2}{4}\geq \frac{2xy}{4}=\frac{xy}{2}$
$V\leq \frac{xy}{6}.\sqrt{1-\frac{xy}{2}}=\frac{1}{6}\sqrt{(xy)^2.(\frac{2-xy}{2})}$
$V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{2.\frac{xy}{2}.\frac{xy}{2}.(2-xy)}\leq \frac{1}{6}\sqrt{2(\frac{\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+2-xy}{3})^3}$
$\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{\frac{16}{27}}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$
$V=\frac{2\sqrt{3}}{27}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2xy \\ xy/2=2-xy \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$
Kết luận : Với $x=y=\frac{2}{\sqrt{3}} $ thì $V$ lớn nhất
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$
- Cho biểu thức $P$ = \(\cos A + \cos B + \cos C\). Trong đó $A, B, C$ là các góc của tam giác $ABC$ bất kì. Chứng minh rằng $P$ đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.
- Trong các số thực $x, y, z$ thỏa mãn hệ thức \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). Hãy tìm x, y, z để biểu thức \(|x + 2y + 3z – 8|\) đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó.
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{4x+3}{x^{2}+1}$.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=sin^{6}x+cos^{6}x+asinxcosx$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} + 10x + 20}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=[\frac{12x(x-a)}{x^2+36}]^\frac{3}{4}$
- Xác định tham số $a,b$ sao cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $4$, giá trị nhỏ nhất bằng $-1$