Cho hình chóp tam giác $S.ABC, SA = x, BC = y$, các cạnh còn lại đều bằng $1$.$1$. Tính thể tích hình chóp theo $x, y.$$2.$ Với $x, y$ nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
Bài giải chi tiết:
$1.$ Gọi $M$ và $N$ là trung điểm $SA$ và $BC$.Do giả thiết, $\Delta ABC$ và $CAS$ cân ở $B$ và $C$ nên $BM \bot SA, CM\bot SA\Rightarrow SA\bot(BMC),$ hình chóp có thể tích
$V=\frac{1}{3}SA.dtBMC=\frac{x}{3}.dtBMC$
Dễ thấy $MB=MC=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$ nên $\Delta BMC$ cânở $M$ và $MN\bot BC,$
$MN=\sqrt{MC^2-(\frac{y}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$dtMBC=\frac{1}{2}y\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$ , $V=\frac{xy}{6}\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{4}}$
$2.$ Ta có : $ \frac{x^2+y^2}{4}\geq \frac{2xy}{4}=\frac{xy}{2}$
$V\leq \frac{xy}{6}.\sqrt{1-\frac{xy}{2}}=\frac{1}{6}\sqrt{(xy)^2.(\frac{2-xy}{2})}$
$V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{2.\frac{xy}{2}.\frac{xy}{2}.(2-xy)}\leq \frac{1}{6}\sqrt{2(\frac{\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+2-xy}{3})^3}$
$\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}.\sqrt{\frac{16}{27}}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$
$V=\frac{2\sqrt{3}}{27}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2xy \\ xy/2=2-xy \end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$
Kết luận : Với $x=y=\frac{2}{\sqrt{3}} $ thì $V$ lớn nhất
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời