Cho họ đường cong bậc ba $(C_m)$ có phương trình là $ y=-x^3+mx^2-m$. Tìm điểm cố định của $(C_m)$. Định $m$ để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
Bài giải chi tiết:
Ta có: $ {\rm{y}}'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 2mx}} $
(Cm) qua $ (x, y), \forall m$
$ \Leftrightarrow {\rm{y }} + {\rm{ }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} = {\rm{ m }}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}-{\rm{ 1}}} \right),\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 1 = 0\\
y + {x^3} = 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.\,\,\,\,hay \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right. $
Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì $ {\rm{y}}'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{ 2mx}} $ nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là:
$ {{\rm{a}}_{\rm{1}}} = {\rm{ y}}’\left( {\rm{1}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ 3 }} + {\rm{ 2m}} $ và $ {{\rm{a}}_{\rm{2}}} = {\rm{ y}}’\left( {-{\rm{1}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{3 }}-{\rm{ 2m}} $.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau $ \Leftrightarrow {{\rm{a}}_{\rm{1}}}.{{\rm{a}}_{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{9 }}-{\rm{ 4}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = {\rm{ }}-{\rm{ 1}} \Leftrightarrow {\rm{m }} = \frac{{ \pm \sqrt {10} }}{2} $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho hàm số: $y = \frac{x – 2}{x + 1}$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) $M$ là một điểm có hoành đố $a \ne – 1$, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$.3) Tính khoảng cách từ điểm $I(-1; 1)$ đến tiếp tuyến đó. Xác định $a$ để khoảng cách ấy là lớn nhất
- Xem hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x – 2}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) $M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại $A$ và $B$. Chứng tỏ rằng $M$ là trung điểm của đoạn $AB$, và tam giác $IAB$, với $I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào $M$.3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C):y = x^3 -3x^2 + 2 $ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: $ 5y – 3x + 4 = 0 $ .
- Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + (2m – 1)x – m + 2\,\,\,(1)$$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = 2.$$2.$ Qua điểm $A\left( {4/9;4/3} \right)$kẻ được mấy tiếp tuyến tới đồ thị ($C)$? Viết phương trình tiếp tuyến ấy.$3.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số ($1$) nghịch biến trên khoảng ($-2;0$).
- Cho parabol $y=x^2+x (P)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$
- Cho hàm số $y = \frac{2x – 4}{x + 1} (C)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ cắt các tiệm cận của $(C)$ tại $A, B$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABI$ ($I$ là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
- Cho hàm số:$y = \frac{ – 2x + 1}{x + 2}\,$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. $2$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -x$
- Cho hai hàm số: ${y_1} = {x^2} – mx – 2$ và ${y_2} = \frac{{2 – mx}}{{x – 1}}$Chứng minh với $\forall m$ đồ thị của chúng luôn đi qua cùng một điểm cố định. Tìm $m$ để tại điểm cố định đó hai đồ thị tiếp xúc nhau, tìm phương trình tiếp tuyến chung
- a) Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2} x^4 – x $ có tiếp tuyến là $y=-\frac{3}{4} x -\frac{3}{32} $. Tìm tiếp điểm.b) Tại điểm nào thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với chiều dương trục hoành một góc $45^0$. $ y=\frac{1}{3} x^3 -\frac{5}{2} x^2 +7x -4 $
Trả lời