Cho $ m \in N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2} \right ) , x\geq 1$
Bài giải chi tiết:
Xét $ g(x) = e^{2x} – 2 (x^2 +x), x\geq 0$
$ g'(x) = 2e^{2x} – 2 (2x + 1) = 2 (e^{2x} -2x-1)$
$ g”(x) = 2 (2e^{2x} -2 ) = 4 (e^{2x}-1) \geq 0, \forall x \geq 0 $
$\Rightarrow g’ $ tăng trên $[0;+\infty ) \Rightarrow g'(x) \geq g'(0) = 0 , \forall x \geq 0 $
$\Rightarrow g$ tăng trên $[0;+\infty ) \Rightarrow g(x) \geq g(0) = 1$
$\Rightarrow e^{2x} \geq 2(x^2 + x) + 1, \forall x \geq 0$
$\Rightarrow x^me^{2x} \geq 2(x^{m+2} + x^{m+1})+x^m, \forall x \geq 0$
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{x} t^me^{2t} \geq \int\limits_{1}^{x} 2( t^{m+2}+t^{m+1})+t^mdt$
$= 2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} + \frac{x^{m+2}}{m+2} \right )+\frac{x^{m+1}}{m+1} – 2 \left ( \frac{1}{m+3}+\frac{1}{m+2} \right )-\frac{1}{m+1} , \forall x \geq 1$
$\Rightarrow f(x) \geq -2 \left ( \frac{1}{m+3}+ \frac{1}{m+2} \right ) $
$\Rightarrow f(x) \geq -2\left ( \frac{1}{m+3}+ \frac{1}{m+2} \right ), \forall x \geq 1$
Dấu $”=” \Leftrightarrow x=1$
Vậy : $\min_{x\geq 1}f(x) = -\frac{2(2m+5)}{(m+2)(m+3)}.$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời