Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $ Bài giải chi tiết:
Xét hai trường hợp:
a) $n = 2k,\;k \in {N^ + }$
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x_1} – a} \right| + \left| {x – {a_n}} \right| \ge {a_n} – {a_1}\\
\left| {x – {a_2}} \right| + \left| {x – {a_{n – 1}}} \right| \ge {a_{n – 1}} – {a_2}\\
…………………………………\\
\left| {x – {a_k}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| \ge {a_{k + 1}} – {a_k}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x – {a_i}} \right|} \ge \sum\limits_{j = 1}^k {\left| {{a_{n – j + 1}} – {a_j}} \right|} $
Do đó, nếu $x \in \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$ thì ta có $f(x) = \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Nếu $x \notin \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$ thì $\left| {x – {x_k}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| > {a_{k + 1}} – {a_k}$
Nên $f(x) > \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Vậy trong trường hợp này ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(x) = \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Với $x \in \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$
b) $n = 2k – 1,{\rm{ k}} \in {{\rm{N}}^ + }$
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x – {a_1}} \right| + \left| {x – {a_n}} \right| \ge {a_n} – {a_1}\\
\left| {x – {a_2}} \right| + \left| {x – {a_{n – 1}}} \right| \ge {a_{n – 1}} – {a_2}\\
…………………………………\\
\left| {x – {a_{k – 1}}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| \ge {a_{k + 1}} – {a_{k – 1}}\\
\left| {x – {a_k}} \right| \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x – {a_i}} \right|} \ge \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {\left| {{a_{n – j + 1}} – {a_j}} \right|} + \left| {x – {a_k}} \right|$
Do đó, nếu $x = {a_k}$ thì $\left| {x – {a_k}} \right| = 0$ nên $f(x) = \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Nếu $x \ne {a_k}$ thì $\left| {x – {a_k}} \right| > 0$ nên $f(x) > \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Vậy trong trường hợp này ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(x) = \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $ đạt được khi $x = {a_k}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
- $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x} $
Trả lời