• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar

Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Tiếng Anh

Tập hợp bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Sử, Địa, GDCD, Văn Phổ thông

  • Môn Toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Sinh
  • Môn Anh
  • Môn Văn
  • Môn Sử
  • Môn Địa
  • Môn GDCD
  • Môn Công nghệ
  • Môn Tin học

Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $

30/01/2020 by Baitap.net Để lại bình luận

Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $ Bài giải chi tiết:

Xét hai trường hợp:

a) $n = 2k,\;k \in {N^ + }$
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x_1} – a} \right| + \left| {x – {a_n}} \right| \ge {a_n} – {a_1}\\
\left| {x – {a_2}} \right| + \left| {x – {a_{n – 1}}} \right| \ge {a_{n – 1}} – {a_2}\\
…………………………………\\
\left| {x – {a_k}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| \ge {a_{k + 1}} – {a_k}
\end{array} \right.$
    $ \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x – {a_i}} \right|}  \ge \sum\limits_{j = 1}^k {\left| {{a_{n – j + 1}} – {a_j}} \right|} $
Do đó, nếu $x \in \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$ thì ta có $f(x) = \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Nếu $x \notin \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$ thì $\left| {x – {x_k}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| > {a_{k + 1}} – {a_k}$
Nên   $f(x) > \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Vậy trong trường hợp này ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(x) = \sum\limits_{j = 1}^k {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Với $x \in \left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right]$

b) $n = 2k – 1,{\rm{ k}} \in {{\rm{N}}^ + }$
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x – {a_1}} \right| + \left| {x – {a_n}} \right| \ge {a_n} – {a_1}\\
\left| {x – {a_2}} \right| + \left| {x – {a_{n – 1}}} \right| \ge {a_{n – 1}} – {a_2}\\
…………………………………\\
\left| {x – {a_{k – 1}}} \right| + \left| {x – {a_{k + 1}}} \right| \ge {a_{k + 1}} – {a_{k – 1}}\\
\left| {x – {a_k}} \right| \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {x – {a_i}} \right|}  \ge \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {\left| {{a_{n – j + 1}} – {a_j}} \right|}  + \left| {x – {a_k}} \right|$
Do đó, nếu $x = {a_k}$ thì $\left| {x – {a_k}} \right| = 0$ nên $f(x) = \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Nếu $x \ne {a_k}$ thì $\left| {x – {a_k}} \right| > 0$ nên $f(x) > \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $
Vậy trong trường hợp này ${\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(x) = \sum\limits_{j = 1}^{k – 1} {({a_{n – j + 1}} – {a_j})} $ đạt được khi $x = {a_k}$

Câu trắc nghiệm liên quan:

  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
  3. Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
  4. Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
  5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
  6.   Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:          $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
  7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :         $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
  8. Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
  9. $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}  $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}  $

Thuộc chủ đề:Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính




Baitap.net (c) 2019 - Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Anh -Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Bảo mật
Học Toán - Học Trắc nghiệm - Ebook Toán - Học Giải - Mon Toán - Giai bai tap hay - Lop 12 - - HocZ Net -