Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$
Bài giải chi tiết:
Ta có:
${y^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2p}}x{\sin ^{2q}}x = {(1 – {\sin ^2}x)^p}{\sin ^{2q}}x$
Đặt $t = {\sin ^2}x,{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$ ta được
${y^2} = f(t) = {t^q}{(1 – t)^p},{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$
Ta có $f'(t) = {t^{q – 1}}{(1 – t)^{p – 1}}\left[ {q – (p + q)t} \right]$.
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0,{\rm{ t}} = \frac{q}{{p + q}},t = 1$.
Bảng biến thiên của $f(t)$ là:
Suy ra $\max f(t) = f\left( {\frac{q}{{p + q}}} \right) = \frac{{{p^p}{q^q}}}{{{{(p + q)}^{p + q}}}} = \max {y^2}$
Do $y \ge 0$ suy ra
$\max y = \sqrt {\frac{{{p^p}{q^q}}}{{{{(p + q)}^{p + q}}}}} $
Đạt được khi: ${\sin ^2}x = t = \frac{q}{{p + q}}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời