Cho parabol $y=x^2+1$ và đường thẳng $y = mx +2$.Hãy xác định $m$ để diện tích phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng:
  $ x^2 + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow  x^2 – mx -1 =0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{m – \sqrt {{m^2} + 4} }}{2}\\
{x_2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 4} }}{2}
\end{array} \right.$
Diện tích hình phẳng :
$S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (mx +2 -x^2-1)dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}(-x+mx+1)dx = \left ( -\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+x  \right )\left| \begin{array}{l}
{x_2}\\
x_1
\end{array} \right.$
$ = \frac{m}{2}(x^2_2 – x^2_1)+(x_2-x_1) – \frac{1}{3}(x^3_2-x^3_1)$
$ = (x_2-x_1) \left [ \frac{m}{2}(x_2+x_1)+1 – \frac{1}{3}(x^2_2+x_2x_1+x^2_1 \right ]$
$ = (x_2-x_1) \left [ \frac{m}{2}(x_1+x_2)+1-\frac{1}{3}(x_1+x_2)^2+\frac{1}{3}x_1x_2\right ] $
$ = \sqrt{m^2+4}\left ( \frac{m^2}{2}+1-\frac{m^2}{3}-\frac{1}{3} \right ) $
$ = \sqrt{m^2+4}\left ( \frac{m^2}{6}+\frac{2}{3}   \right )\geq 2.\frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
Dấu $ “=” \Leftrightarrow  m=0$
Vậy $ Min S  = \frac{4}{3} ( tại  m = 0).$   

Câu trắc nghiệm liên quan:

1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
3. Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
4. Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
5. Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
7.   Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:          $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :         $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
9. Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).