Cho phương trình bậc hai : ${x^2} – ( {2\sin \alpha  – 1} )x + 6{\sin ^2}\alpha  – \sin \alpha  – 1 = 0$Trong đó $\alpha $ là tham sốa)    Với những giá trị nào của $\alpha $ thì phương trình có nghiệm ?b)    Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ${x^2}_1 + {x^2}_2$ khi $\alpha $ thay đổi.

a) Phương trình có nghiệm khi:
    $\Delta  = {\left( {2\sin \alpha  – 1} \right)^2} – 4\left( {6{{\sin }^2}\alpha  – \sin \alpha  – 1} \right) =  – 20{\sin ^2}\alpha  + 5 \ge 0$
    $ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow  – \frac{1}{2} \le \sin \alpha  \le \frac{1}{2}$
    $ \Leftrightarrow  – \frac{\pi }{6} + 2k\pi  \le \alpha  \le \frac{\pi }{6} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)$

b) Với điều kiện của phần $1)$; ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ta có:
    ${x_1} + {x_2} = 2\sin \alpha  – 1,{x_1}{{\rm{x}}_2} = 6{\sin ^2}\alpha  – \sin \alpha  – 1$
Do đó $y = {x^2}_1 + {x^2}_2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}$
    $ = {\left( {2\sin \alpha – 1} \right)^2} – 2\left( {6{{\sin }^2}\alpha  – \sin \alpha – 1} \right) = – 8{\sin ^2}\alpha – 2\sin \alpha  + 3$
Đặt $t = \sin \alpha $, $ – \frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$, khi đó
    $y = – 8{t^2} – 2t + 3, – \frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$
Biến đổi biểu thức của y như sau
    $y =  – 8\left[ {{t^2} + 2.\frac{1}{8}t + {{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^2}} \right] + \frac{1}{8} + 3 =  – 8{\left( {t + \frac{1}{8}} \right)^2} + \frac{{25}}{8}$
Từ đó ta suy ra:
${y_{m{\rm{ax}}}} = \frac{{25}}{8}$ khi $t = – \frac{1}{8}$, tức là khi $\sin \alpha = – \frac{1}{8}$
${y_{\min }} = – 8{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{8}} \right)^2} + \frac{{25}}{8} = 0$ khi $t = \frac{1}{2}$ tức là khi $\sin \alpha  = \frac{1}{2}$
    $ \Leftrightarrow \alpha  = \frac{\pi }{6} + 2k\pi $ hoặc $\alpha  = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)$