Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\sqrt{3}\cos 2A+2\cos2B+2\sqrt{3}\cos2C$
Bài giải chi tiết:
Viết lại $Q=2\sqrt{3}\cos2C+\sqrt{3}\cos2A+2\cos2B$
$=2xy\cos2C+2yz\cos2A+2zx\cos2B$ (2)
$\Rightarrow \begin{cases}2xy=2\sqrt{3} \\ 2yz=\sqrt{3} \\ 2xz=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt{2} \\ y=\sqrt{\frac{3}{2}} \\ z=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=2 \\ y^2=\frac{3}{2} \\ z=\frac{1}{2} \end{cases}$. Theo $(2): Q \geq -(x^2+y^2+z^2)=-4$
Dâu đẳng thức có khi và chỉ khi $\frac{\sin 2A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin 2B}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sin 2C}{\frac{1}{\sqrt{2}} } \Rightarrow \begin{cases}A=45^0 \\ B=60^0 \\ C=75^0 \end{cases}$
Vậy GTNN của $Q$ là
$-4$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời