Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=3^{2x}+3^y$.
Bài giải chi tiết:
Ta có: $y=1-x$, từ đó $P=3^{2x} +3^{1-x}=3^{2x}+\frac{1}{3^x}$ với $0 \le x\le1$
Đặt $t=3^x$ khi đó $1\le t \le 3$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+\frac{3}{t}\Rightarrow f'(t)=2t-\frac{3}{t^2}=\frac{2t^3-3}{t^2}$.
Từ đó có bảng biến thiên sau:
Vậy $\max P=\max f(t)=\max (f(1);f(3))=\max (4;10)=10\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases}$
$\min P=\min f(t) =f(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})=3\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow \begin{cases}x= \log_3\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\\ y=1-log_3 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \end{cases}$.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời