Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
Bài giải chi tiết:
Với $\forall a \neq 0$ ta có $Q=ay.\frac{x+y}{a}+2zx \leq \frac{a^2y^2+(\frac{x+z}{a})^2}{2}+x^2+z^2$
$\Rightarrow Q \leq \frac{a^2y^2+\frac{2(x^2+y^2)}{a^2} }{2}+x^2+z^2=\frac{a^2}{2}y+(1+\frac{1}{a^2})(x^2+z^2) (1)$
Ta chọn $a \neq 0$ sao cho $\frac{a^2}{2}=1+\frac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4-2a^2-2=0 \Leftrightarrow a^2=1+\sqrt{3}$
Khi đó $(1)$ trở thành $Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2) \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2} \Rightarrow Q \leq \frac{1+\sqrt{3}}{2} (2)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l} ay=\frac{x+z}{a} \\ x=z \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{a^2}{2}y \\ (1+\frac{a^2}{2})y^2=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{1+\sqrt{3}}{2}y \\ y^2=\frac{1}{3+\sqrt{3}} \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=z=\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}} \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} x=z=-\frac{\sqrt{3(1+\sqrt{3})}}{6} \\ y=\frac{-1}{\sqrt{3+\sqrt{3}}} \end{array} \right. (3)$
Vậy $\max Q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$. Chân trị của $\max$ được xác định trong $(3)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời