Cho $x,y,z>1$ thỏa $x+y+z=xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:           $P=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

               Giải:
Theo giả thiết: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$
Ta có:
  $P=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}+\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}+\frac{(z-1)+(x-z)}{z^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
    $=(x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+(y-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+(z-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
                          $\geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
     $=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2    (1)$ 
 Mà $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \geq 3(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz})=3                                            (2)$
 Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow P \geq \sqrt{3}-2$
 Kết luận: Vậy  $\min P=\sqrt{3}-2 \Leftrightarrow x=y=\sqrt{3}$