Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c} $Với $a > 0,b > 0,c > 0$. Tìm $\min y, \max y$
Bài giải chi tiết:
• Tính $\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$y \le \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
Dấu = xảy ra khi
$a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như $\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
• Tính $\min y$
Do $y > 0$ nên ta xét:
$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)} $
$ = a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c – \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right]} $ $(1)$
Chỉ cần tìm $min$ của biểu thức trong căn, đặt ${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :
$u = \left[ {a + c – \left( {a – b} \right)t} \right].\left[ {b + c – \left( {a – b} \right)t} \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$
$u’ = … = – 2{\left( {a – b} \right)^2}t + {\left( {a – b} \right)^2}$ $(2)$
Trường hợp $a = b$ thì $u’ \equiv 0 \Rightarrow u = $ hằng $ \Rightarrow z = $ hằng.
$ \Rightarrow $ từ $(1)$ có $z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)} = {\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow y = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} $ nên $\min y = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)} $
Trường hợp $a \ne b$: từ $(2)$ $u’$ có nghiệm là $t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua $t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:
$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra
$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} = {\left( {\sqrt {a + c} + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow min z = \sqrt {a + c} + \sqrt {b + c} $ vẫn như trường hợp $a = b$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời