• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar

Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Tiếng Anh

Tập hợp bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Sử, Địa, GDCD, Văn Phổ thông

  • Môn Toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Sinh
  • Môn Anh
  • Môn Văn
  • Môn Sử
  • Môn Địa
  • Môn GDCD
  • Môn Công nghệ
  • Môn Tin học

Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

07/01/2020 by Baitap.net Để lại bình luận

Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Bài giải chi tiết:

•    Tính $\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$y  \le  \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c}  = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
Dấu = xảy ra khi
 $a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như $\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $

•    Tính $\min y$
Do $y > 0$ nên ta xét:
$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)} $
   $ = a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c – \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right]} $         $(1)$
Chỉ cần tìm $min$ của biểu thức trong căn, đặt ${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :
$u = \left[ {a + c – \left( {a – b} \right)t} \right].\left[ {b + c – \left( {a – b} \right)t} \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$
$u’ = … = – 2{\left( {a – b} \right)^2}t + {\left( {a – b} \right)^2}$            $(2)$
Trường hợp $a = b$ thì $u’ \equiv 0 \Rightarrow u = $ hằng $ \Rightarrow z = $ hằng.
$ \Rightarrow $ từ $(1)$ có $z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} $ nên $\min y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)} $
Trường hợp $a \ne b$: từ $(2)$ $u’$ có nghiệm là $t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua $t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:
$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra
$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow min z = \sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} $ vẫn như trường hợp $a = b$

Câu trắc nghiệm liên quan:

  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
  3. Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$.  Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
  4. Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
  5. Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
  6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
  7.   Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện:          $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
  8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :         $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
  9. Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).

Thuộc chủ đề:Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính




Baitap.net (c) 2019 - Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Anh -Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Bảo mật
Học Toán - Học Trắc nghiệm - Ebook Toán - Học Giải - Mon Toán - Giai bai tap hay - Lop 12 - - HocZ Net -