• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar

Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Tiếng Anh

Tập hợp bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Tiếng Anh, Sử, Địa, GDCD, Văn Phổ thông

  • Môn Toán
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Sinh
  • Môn Anh
  • Môn Văn
  • Môn Sử
  • Môn Địa
  • Môn GDCD
  • Môn Công nghệ
  • Môn Tin học

Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

06/01/2020 by Baitap.net Để lại bình luận

Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Bài giải chi tiết:

•    Tính $\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$y  \le  \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c}  = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
Dấu = xảy ra khi
 $a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như $\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $

•    Tính $\min y$
Do $y > 0$ nên ta xét:
$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)} $
   $ = a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c – \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right]} $         $(1)$
Chỉ cần tìm $min$ của biểu thức trong căn, đặt ${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :
$u = \left[ {a + c – \left( {a – b} \right)t} \right].\left[ {b + c – \left( {a – b} \right)t} \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$
$u’ = … = – 2{\left( {a – b} \right)^2}t + {\left( {a – b} \right)^2}$            $(2)$
Trường hợp $a = b$ thì $u’ \equiv 0 \Rightarrow u = $ hằng $ \Rightarrow z = $ hằng.
$ \Rightarrow $ từ $(1)$ có $z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} $ nên $\min y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)} $
Trường hợp $a \ne b$: từ $(2)$ $u’$ có nghiệm là $t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua $t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:
$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra
$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow min z = \sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} $ vẫn như trường hợp $a = b$

Câu trắc nghiệm liên quan:

  1. Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $  Tìm $max  f(x) , min  f(x). $
  2. Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$  
  3. $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:                    ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
  4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
  5. Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
  6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$      trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$       trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
  7. Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$  Tìm $max  y , min  y.$
  8. Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
  9. Cho hàm số :  $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max  y , min  y.$

Thuộc chủ đề:Hàm số Tag với:Ứng dụng hàm số vào giải toán

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính




Bài viết mới

  • Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ :    ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ 29/03/2020
  •     Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:               $x^2-2mx+2|x-m|+4 29/03/2020
  • Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3}  \\ m^{2}x+1 \geq  m^{4}-x   \end{cases} $ có nghiệm                 b)$\begin{cases}x-2 \geq   0 \\ mx-4 \leq  0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$ 29/03/2020
  • Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x                 (1)$ a) Giải phương  trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$ 29/03/2020
  • Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq  m   (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq  m   (2) \end{array} \right. $ 28/03/2020

Baitap.net (c) 2021 - Bài Tập Toán Lý Hóa Sinh Anh -Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Bảo mật
Học Toán - Học Trắc nghiệm - Ebook Toán - Học Giải - Trắc nghiệm Toán - Giai bai tap hay - Lop 12