Chứng minh rằng: $ – arctanx + arctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}} = \frac{\pi }{4}$ với $\forall x \in ( – \infty ;1)$
Bài giải chi tiết:
Xét hàm $f(x) = – {\rm{ar}}ctan + {\rm{ar}}ctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}}$ trong khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$, ta có:
$\begin{array}{l}
f'(x) = – \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right)}^2}}}.\left( {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right)
= – \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{{{{(1 – x)}^2}}}{{2{{(1 + x)}^2}}}.\frac{2}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}} = 0
\end{array}$
$ \Rightarrow f(x) = C, \forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)$.
Mặt khác, $f(0) = – {\rm{ar}}ctan0 + {\rm{ar}}ctan1 = \pi /4$
Vậy $f(x) = \pi /4,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng phương trình: $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$
- Chứng minh rằng các phương trình sau đây:1) \(x^{5}-3x-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm \(1
- Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^{3}-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 3, x=1\end{cases}\). Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\).
- Chứng minh rằng phương trình: $ 5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 = 0 $ có bốn nghiệm âm phân biệt.
- Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$
- Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$
- Cho $f,g$ liên tục trên $[a,b]$ và $g(x_{0})\neq 0,x_{0}\in [a,b]$Chứng minh rằng:Nếu: $\begin{cases} 0
- Cho $ a_1, a_2, …, a_n$ là các hằng số thực. Chứng minh rằng phương trình $a_1.\cos x + a_2 \cos 2x+…+ a_n.\cos nx = 0$ luôn có nghiệm trên $[0;2\pi ].$
- Tìm các khoảng và nửa khoảng ở đó hàm sau đây liên tục:$y=f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1 nếu x
Trả lời