Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta
có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$
Bài giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức côsi:
${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin x + tanx}}} = {2.2^{\frac{{2\sin x + tanx}}{2}}}$
Ta có ${2^{\frac{{3x}}{2} + 1}} = {2.2^{\frac{{3x}}{2}}} $. So sánh $2\sin x + tanx $ với $3x$ trên khoảng $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).$Xét hàm số
$\begin{array}{l}
f(x) = 2\sin x + tanx – 3x.\\Ta có: {f^,}(x) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 3\\
{f^,}(x) = \frac{{2{{\cos }^3}x – 3{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\left( {2\cos x + 1} \right){{\left( {\cos x – 1} \right)}^2}}}{{co{s^2}x}} > 0
\end{array}$
Với$\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trong khoảng $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\,$nên
$\begin{array}{l}
f(x) > f(0) = 0 \Rightarrow 2\sin x + tanx > 3x\\
\Rightarrow {2.2^{\frac{{2\sin x + tanx}}{2}}} > 2.2\frac{{3x}}{2}= 2^{\frac{3x}{2}+1}
\end{array}$
Vậy ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Trả lời