Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$

Áp dụng bất đẳng thức côsi:
${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin x + tanx}}}  = {2.2^{\frac{{2\sin x + tanx}}{2}}}$
Ta có ${2^{\frac{{3x}}{2} + 1}} = {2.2^{\frac{{3x}}{2}}} $. So sánh $2\sin x + tanx  $ với $3x$ trên khoảng $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).$Xét hàm số
$\begin{array}{l}
f(x) = 2\sin x + tanx – 3x.\\Ta có: {f^,}(x) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 3\\
{f^,}(x) = \frac{{2{{\cos }^3}x – 3{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\left( {2\cos x + 1} \right){{\left( {\cos x – 1} \right)}^2}}}{{co{s^2}x}} > 0
\end{array}$
Với$\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ $ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trong khoảng $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\,$nên
$\begin{array}{l}
f(x) > f(0) = 0 \Rightarrow 2\sin x + tanx > 3x\\
 \Rightarrow {2.2^{\frac{{2\sin x + tanx}}{2}}} > 2.2\frac{{3x}}{2}= 2^{\frac{3x}{2}+1} 
\end{array}$
Vậy ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$