Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: $f(x) = \begin{cases}x^2 \cos \frac{1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0\end{cases}$tại điểm $x_0 = 0$
Bài giải chi tiết:
Hàm số $f(x)$ xác định trong một lân cận của $x_0=0$.
Ta có :
$ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x-0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$.
Ta có :
* Với mọi $x \neq 0$ thuộc lân cận của điểm 0 luôn có :
$ | x \cos \frac{1}{x}| \leq |x| \Leftrightarrow – |x| \leq x. \cos \frac{1}{x} \leq |x|$.
* Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-|x|) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} |x| = 0$.
Suy ra :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x. \cos \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow f'(0) = 0$.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$
- Tìm $a$ sao cho biểu thức: $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $ không phụ thuộc $x$.
- Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1 với x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x} với x \neq 0\end{cases}$
- Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$; b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $; d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $
- Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$
- Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$
- Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$. Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$
- Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\).
- Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in N$
Trả lời