Giải hệ $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ \cos x+\cos y=\sqrt{3} \end{cases} x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Bài giải chi tiết:
Xét $f(t)=\tan t-t, t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
$f'(t)=\frac{1}{\cos^2 t}-1=\tan^2 t \geq0, \forall t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow t=0 \Rightarrow $ $f$ tăng trên $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Vì vậy $ f(x)=f(y) \left ( ( x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \right ) \Leftrightarrow x=y $
Tức là $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow x=y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Vậy : Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=\pm \frac{\pi}{6}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
- Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$
- $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln^2 x}{x}$ trên đoạn $[1;e^3]$.
- Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$
- Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$ Tìm $max y , min y.$
- Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
- Cho hàm số : $y=1+\cos x + \frac{ 1}{ 2} \cos 2x + \frac{ 1}{ 3} \cos 3x.$ Tìm $max y , min y.$
Trả lời