Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất
Bài giải chi tiết:
$1)$ Hoành độ tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} = {{ax}} + b{{ (1)}}\\
y’ = – \frac{1}{{{x^2}}} = a{{ }}(2)
\end{array} \right.$
Thế $(2)$ vào $(1)$ ta được: $b – 2/x = 0 \Rightarrow bx – 2 = 0$.
Để hệ $(1), (2)$ có nghiệm, cần có $b \ne 0 \Rightarrow x = 2/b$.
Thế vào $(2)$ ta có $a = – {b^2}/4$
Đáp số: $b \ne 0,{{ a}} = – {b^2}/4$
$2)$
a) $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$, ta có ${y_M} = 0;{{ }}{{{x}}_M} = – b/a,{{ }}{{{x}}_N} = 0;{{ }}{{{y}}_N} = b$, do đó
$dt(OMN) = (1/2)OM.ON = (1/2).\left| {{x_M}.{y_N}} \right| = (1/2)\left| {(4/b).b} \right| = 2$
b) Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $MN$, hoành độ ${x_1}$ của $I$ bằng
${x_1} = (1/2)({x_M} + {x_N}) = (1/2)(4/b + 0) = 2/b$.
Áp dụng kết quả phần $1)$ ta có ${x_1} = 2/b$ là hoành độ tiếp điểm.
c) Đường thẳng $(D’)$ qua $O$ và vuông góc với $(D)$ có phương trình $y = – {{ax}}$.
Gọi $({x_1},{y_1})$ là tọa độ giao điểm của $(D’)$ và $(D)$ ta có
$ – {{a}}{{{x}}_1} = {{a}}{{{x}}_1} + b$
$ \Rightarrow {x_1} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – b}}{{2.( – {b^2}/4)}} = \frac{2}{b}$
$ \Rightarrow {y_1} = – {{a}}{{{x}}_1} = – a.\frac{2}{b} = \frac{{{b^2}}}{4}.\frac{2}{b} = \frac{b}{2}$.
Vậy khoảng cách $d$ từ $O$ đến $(D)$ bằng
$d = \sqrt {{{(2/b)}^2} + {{(b/2)}^2}} \ge \sqrt 2 $
$ \Rightarrow \max d = \sqrt 2 $ đạt được khi $2/b = b/2 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow a = – 1$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời