Tìm điểm $A$ trên mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P): 2x-2y+z+6=0$ là lớn nhất, nhỏ nhất.

Đưa $(S)$ về dạng: $(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=4$.
Vậy $(S)$ là mặt cầu tâm tại $I(1;0;-1)$ và bán kính $R=2$.
Đường thẳng $(d)$ qua $I$ nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-2;1)$ của $(P)$ là vectơ chỉ phương nên có dạng: $d: \begin{cases}x=1+2t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{cases}$.
Tìm giao điểm của  $d$ với mặt cầu $(S)$ thông qua phương trình sau:
$(1+2t-1)^2+(-2t)^2+(1+t-1)^2=4\Leftrightarrow 9t^2=4\Leftrightarrow t=\pm \frac{2}{3}$.
Khi $t=\frac{2}{3}$ ta có giao điểm $A(\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3})$.
Khi $t=\frac{-2}{3}$ ta có giao điểm $B(\frac{-1}{3};\frac{4}{3};\frac{-5}{3})$

$d(A,(P))=\frac{13}{3};  d(B(P))=\frac{1}{3}$
Vậy $A,B$ tương ứng là điểm trên mặt cầu $(S)$ xa với gần $(P)$ nhất.