Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: $A = \sqrt[n]{{({a_1} + {b_1})({a_2} + {b_2})…({a_n} + {b_n})}}$Biết rằng ${a_1},{a_2},…,{a_n},{b_1},{b_2},…,{b_n}$là $2n$ số dương thỏa mãn điều kiện ${a_1}{a_2}…{a_n} = a; {b_1}{b_2}…{b_n} = b$ ($a, b$ là hai số dương cho trước)
Bài giải chi tiết:
Ta có
$\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}…{a_n}}} + \sqrt[{}]{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}}}{A}
= \sqrt[n]{{\frac{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}{{({a_1} + {b_1})…({a_n} + {b_n})}}}} + \sqrt[n]{{\frac{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}{{({a_1} + {b_1})…({a_n} + {b_n})}}}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
= \sqrt[n]{{\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_2} + {b_2}}}…\frac{{{a_n}}}{{{a_n} + {b_n}}}}} + \sqrt[n]{{\frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}.\frac{{{b_2}}}{{{a_2} + {b_2}}}…\frac{{{b_n}}}{{{a_n} + {b_n}}}}} \\
\le \frac{1}{n}\left( {\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_2} + {b_2}}} + … + \frac{{{a_n}}}{{{a_n} + {b_n}}}} \right) + \frac{1}{n}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{{b_2}}}{{{a_2} + {b_2}}} + … + \frac{{{b_n}}}{{{a_n} + {b_n}}}} \right)
\end{array}$
(theo bất đẳng thức Côsi)
$\begin{array}{l}
= \frac{1}{n}\left[ {\left( {\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{{b_1}}}{{{a_1} + {b_1}}}} \right) + \left( {\frac{{{a_2}}}{{{a_2} + {b_2}}} + \frac{{{b_2}}}{{{a_2} + {b_2}}}} \right) + … + \left( {\frac{{{a_n}}}{{{a_{_n}} + {b_{_n}}}} + \frac{{{b_n}}}{{{a_{_n}} + {b_n}}}} \right)} \right]\\
= 1
\end{array}$
$ \Rightarrow A \ge \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$
Vậy $\min A = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$ đạt được khi ${a_1} = {a_2} = …. = {a_n} = \sqrt[n]{a},{\rm{ }}{{\rm{b}}_1} = {b_2} = …. = {b_n} = \sqrt[n]{b}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $f(x)=x^2 \ln x$ trên đoạn $[1;e].$b) $f(x)=x e^{-x}$ trên nửa khoảng $[0;\infty ).$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $[2;4]$.
- Trong các nghiệm $(x,y)$ của bất phương trình : $\log _{x^2+y^2}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm có tổng $x+2y$ lớn nhất.
- Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Cho $n$ số ${a_1},{a_2},…,{a_n}$với ${a_1} < {a_2} < ... < {a_n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {|{x - {a_i}}| } $
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốa) $y=\frac{\ln^2 x}{x} $ trên đoạn $[1;e^3].$b) $y=x^2e^{-x}$ trên đoạn $[0; \ln 8].$
- Cho $a,b,c,d$ là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases}$ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: $S=(a-c)^2+(b-d)^2$
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y=\frac{3\sin x}{2+\cos x}$.
- Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
Trả lời